用面积法定义正弦的课例初探

张东方

摘 要 数学是一门研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的学科。它透过抽象化和逻辑推理的使用，从计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。怎样在课堂教学后进行反思，如何让学生建立三角函数模型进行教学方法改进成为了目前重要的一个课题。在此本人以“正弦”一课为例，初探用面积法定义正弦。

关键词 面积法 定义正弦 课例初探

1“用面积法定义正弦”的原由

三角函数是初中几何教学的重要内容之一，在整个数学几何体系中，根据学生理解掌握的难易程度将三角函数分为了两个阶段学习，即：初中阶段和高中阶段。在初中阶段由于学生的認知水平有限，因此教材对三角函数的概念拟定是在直角三角形中用三角形中边的比的形式来定义的，解三角形的问题也仅仅限于直角三角形。

为此如何让学生建立三角函数的模型，如何更深入的运用三角函数解决几何问题应然而生。大部分教师对三角函数教学中存在的问题和困惑有：主要是教材提供的概念过于简单，怎样在课时有限的情况下让学生探索教材内容？如何把握内容设置的难易程度，如何整合设计才更合理有效呢？于是改进迫在眉睫。

每间学校学生基础水平参差不齐，怎样的教学设计能适合大多数学生的理解需求呢？传统的讲解方式，是教师碎片化的教和学生碎片化的学，这种教控制影响着学生的学，而我们要引导学生建立一种思维的体系，学会用原有的知识建立知识体系树，从而将知识整体化，并把握住成长阶段的黄金时期。培养学生的动手能力和敏捷的思维，所以“用面积法定义正弦”，可以给予学生更多动手练习以及对变式练习的感知，可以让学生达到一个思维创新的发展的过程，让他们通过自己的感受一步一步的肯定自己，在感受中遵循大量实验、猜想结论、证明结论的过程，帮助学生建立数学实验的基本步骤，也帮助学生建立自信。培养了知识分解与知识整合的能力。

2“用面积法定义正弦”改进的内容与怎样改进

2.1改进的内容

几何侧重的是定性的研究，三角侧重定量的研究，既然两者研究的都是几何对象，那么就应该将二者联系起来，彼此作为依托的工具。

三角函数是解决几何问题的有力工具，是训练代数变换能力的平台，如果将“用面积法定义正弦”下放成功，那么教学的重点和难点将会更易于突破，学生也能够在原有知识的基础上进一步提高分析问题的能力，对再学习奠定了良好的基础，从而更符合学生的认知心理。

传统模式：

在直角三角形中，正弦=对边比斜边

这种方式只能让学生机械的记忆，人为的限制了学生的思维，让孩子们以为，三角函数只能运用在直角三角形中。

2.2怎样改进

改进模式：

例如：

（1）问题的引导。

问题1：观察当∠DAE为直角时，等腰△DAE的面积是多少？

问题2：当拖动点D在单位圆上运动时等腰△DAE的面积是否发生了变化，为什么？

（2）正弦定义的引入。

小学时学习了什么是打折问题，例如打九折我们通常表示为，打x折表示为，其中10是不变的总份数，而9和x是变化后的份数。那么现在我们就把单位三角形中的这种变化也当做折扣来表示。将单位等腰直角三角形的面积看做总份数，变化后的单位等腰三角形看做是变化后的份数，我们可以表示为，给它一个新的名字叫做正弦，即sinA。正弦定义：顶角为A的单位等腰三角形的面积和顶角为直角的单位等腰三角形的面积比。

分析：对于概念课的学习，教师更多的是引导学生感知、探索概念生成的过程。让学生体会由静态到动态的变化。当拖动点D在单位圆上运动时等腰△DAE的底边AE没有发生变化，很多学生会认为只是单纯的高发生了改变，而教师要在这个环节追问学生变化的本质，不断追问导致高变化的根本原因是什么？学生容易发现高之所以变化是因为∠DAE发生了变化。

用“面积法定义正弦”从“形”的角度“直观入手”，让学生感知图像的变化。

学生从∠DAB角度发生改变，发现了从∠DAB到sin∠DAB的一个确定的对应关系。这就是函数思想的渗透。更有利于学生通过“图形”来思考数学问题，同时对于学生借助图形来进行分析、推理和认证增强了数形结合的意识。学生在运用“面积法定义正弦”时，感受到了数形结合的优势，培养了探索思维的方式。

3“用面积法定义正弦”的影响

3.1对后续教学的影响

“用面积法定义正弦”的方式在学生后续学习菱形面积时也有很大的帮助。学生可以通过自行探索发现：边长为1且有一个角为A的菱形面积就等于sinA，反之也可以用单位菱形的面积来定义正弦，这种方式直观而且和已学过的知识有了更多的联系，使得学生在认识正弦的同时，通过“实验—猜想—发现规律—证明”体验变换，从而轻松地从原有模型中“抽象”出新的模型，理解正弦的概念。实现提升“直观想象”、“数学抽象”、“数学建模”的能力。

3.2对学生的影响

初中数学几何教学中“用面积法定义正弦”为大部分学生串联知识点提供了抓手，激发了学生学习几何的兴趣。为学生学习三角函数奠定了基础，培养了学生对几何知识再创造的能力，加强了学生的语言表达能力和应变能力。

“用面积法定义正弦”的方式，不仅联系小学学过的三角形面积公式，还可以进一步探索三角形面积公式等数学问题。学生通过自主证明，观察证明过程。实现在例题的基础上进行发散性思维，从总体入手，看到整体与整体的关系，使问题得以解决。这种方式与传统“正弦”的定义并不违背，反而学生可以根据三角形面积公式：

= ， = ab ，

得到 = ab ，

从而推出 = ，

同理可得 = 。

“用面积法定义正弦”的教学方式对学生掌握三角函数，解决几何综合题能力的影响是巨大的。它让概念的生成更简单、更直观、更严谨，它在体系的架构上，揭示了几何、代数、三角的密切联系，“用面积法定义正弦”在平凡处挖掘新思路，更好的引导了学生发现问题并深入思考的能力，既培养了学生的“形式思维”，又培养了学生的“非形式思维”充分的诠释了波利亚的教育理论。同时，为初中学生学习三角函数提供了一个新的方向，通过学生自主探索，培养学生的创新意识，实现学生数学素养的提升。

参考文献

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