李color三系的导子、广义导子和拟导子

张 健，曹 燕

(哈尔滨理工大学理学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

1 预备知识

文献[1]研究了李color代数的广义导子.文献[2-4]讨论了李三系的广义导子、Jordanθ-导子和广义Jordan导子.李超三系和李超代数的广义导子的结论在文献[5-6]中得以推广.文献[7]给出了李color三系的定义.李color三系是李三系和李三超系的推广，从而一个自然的问题被提出，即李三系上的一些结果能否推广到李color三系上.文献[8]研究了李color三系导子的一些结果，本文在其基础上给出了李color三系的导子、广义导子和拟导子的一些结果.

本文中F表示特征不为3的任意域.

定义1.1[1]设G是交换群，F是任意域.映射ε：G×G→F{0}称为G的斜对称双特征标(或交换因子)，如果∀α，β，γ∈G，都有下列三个等式成立：

ε(α，β)ε(β，α)=1，

ε(α，β+γ)=ε(α，β)ε(α，γ)，

ε(α+β，γ)=ε(α，γ)ε(β，γ).

在本节中，如果x，y，z是G-阶化向量空间中的齐次元，则以|x|，|y|，|z|∈G表示它们的次数.为方便起见，用ε(x，y)代表ε(|x|，|y|)，用ε(x，y+z)代表ε(|x|，|y|+|z|)，以此类推.此外，符号ε(x，y)若出现便意味着x，y是齐次元.

[Aɡ，Aɡ′]⊆Aɡ+ɡ′，∀ɡ，ɡ′∈G，

[x，y]=-ε(x，y)[y，x]，∀x∈A|x|，y∈A|y|，

ε(z，x)[x，[y，z]]+ε(x，y)[y，[z，x]]+ε(y，z)[z，[x，y]]=0，∀x∈A|x|，y∈A|y|，z∈A|z|.

对任意x，y，当ε(x，y)=(-1)|x||y|时，李color代数成为李超代数；当ε(x，y)≡1时，李color代数成为李代数.因此，李color代数是一类包含李代数和李超代数的更广泛的代数结构.

(1) [x，y，z]=-ε(x，y)[y，x，z]；

(2)ε(z，x)[x，y，z]+ε(x，y)[y，z，x]+ε(y，z)[z，x，y]=0；

(3) [u，v，[x，y，z]]=[[u，v，x]，y，z]+ε(u+v，x)[x，[u，v，y]，z]+ε(u+v，x+y)[x，y，[u，v，z]]，∀x，y，z，u，v∈T.

则称T是color三系.

对任意x，y，当ε(x，y)=(-1)|x||y|时，李color三系成为李三超系；当ε(x，y)≡1时，李color三系成为李三系.因此，李color三系是一类包含李三系和李三超系的更广泛的代数结构.

Endθ(T)={D∈End(T)|D(Tμ)⊆Tθ+μ，∀μ∈G}.

[Dθ，Dμ]=DθDμ-ε(θ，μ)DμDθ，∀Dθ，Dμ∈End(T).

直接验证可知关于此方括号乘法，End(T)是一个李color代数.

定义1.4[7]设T是域F上的李color三系，D∈Endθ(T)，其中θ∈G.如果

D([x，y，z])=[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]，

∀x，y，z∈T，则称D是T的次数为θ的导子.

[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D′(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D″(z)]=D‴([x，y，z])，

∀x，y，z∈T，则称D是T的次数为θ的广义导子.若存在D′∈Endθ(T)，满足

[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]=D′([x，y，z])，∀x，y，z∈T，

则称D是T的次数为θ的拟导子.

令GDerθ(T)为T的所有次数为θ的广义导子的集合，QDerθ(T)为T的所有次数为θ的齐次拟导子的集合，这里θ∈G，定义

Cθ(T)={D∈Endθ(T)|[D(x)，y，z]=ε(θ，x)[x，D(y)，z]=
ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]=D([x，y，z])}，

∀x，y，z∈T.令

QCθ(T)={D∈Endθ(T)|[D(x)，y，z]=ε(θ，x)[x，D(y)，z]=ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]}，

2 主要结果

定理2.1设T是李color三系，则下面结论成立：

(1) [Der(T)，C(T)]⊆C(T)；

(2) [QDer(T)，QC(T)]⊆QC(T)；

(6) G中不存在这样的4-三角8-点v,使得v关联3个(3,3,8)-面和一个(3,4-,8)-面。

(3) C(T)⊆QDer(T).

证明(1) ∀Dθ∈Derθ(T)，Dμ∈Cμ(T)，∀x，y，z∈T，有

[DθDμ(x)，y，z]=Dθ([Dμ(x)，y，z])-ε(θ，μ+x)[Dμ(x)，Dθ(y)，z]-
ε(θ，μ+x+y)[Dμ(x)，y，Dθ(z)]=
DθDμ([x，y，z])-ε(θ，μ+x)ε(μ，x)[x，DμDθ(y)，z]-
ε(θ，μ+x+y)ε(μ，x+y)[x，y，DμDθ(z)].

且

ε(θ，μ)[DμDθ(x)，y，z]=ε(θ，μ)Dμ(Dθ([x，y，z])-
ε(θ，x)[x，Dθ(y)，z]-ε(θ，x+y)[x，y，Dθ(z)])=
ε(θ，μ)DμDθ([x，y，z])-ε(θ，x)ε(μ，x)ε(θ，μ)[x，DμDθ(y)，z]-
ε(θ，x+y)ε(μ，x+y)ε(θ，μ)[x，y，DμDθ(z)].

故

[[Dθ，Dμ](x)，y，z]=DθDμ([x，y，z])-
ε(θ，μ)DμDθ([x，y，z])=[Dθ，Dμ]([x，y，z]).

同理，

[[Dθ，Dμ](x)，y，z]=ε(θ+μ，x)[x，[Dθ，Dμ](y)，z]=
ε(θ+μ，x+y)[x，y，[Dθ，Dμ](z)].

因此[Dθ，Dμ]∈Cθ+μ(T)，于是有[Der(T)，C(T)]⊆C(T).

结论(2)的证明类似结论(1)，此处略去.

(3) ∀Dθ∈Cθ(T)，∀x，y，z∈T，有

Dθ([x，y，z])=[Dθ(x)，y，z]=ε(θ，x)[x，Dθ(y)，z]=ε(θ，x+y)[x，y，Dθ(z)].

定理2.2设T是李color三系，则QDer(T)+QC(T)=GDer(T).

证明易见QDer(T)+QC(T)⊆GDer(T).

(1)

故

即

并且

整理得

(2)

将(1)与(2)式相加得

将(1)与(2)式相减得

同理有

即GDer(T)⊆QDer(T)+QC(T).

定理2.3设T是李color三系，则[C(T)，QC(T)]∈End(T，Z(T)).特别地，若Z(T)={0}，则

[C(T)，QC(T)]={0}.

证明∀Dθ∈Cθ(T)，Dμ∈QCμ(T)，∀x，y，z∈T，有

[[Dθ，Dμ](x)，y，z]=[DθDμ(x)，y，z]-ε(θ，μ)[DμDθ(x)，y，z]=
Dθ([Dμ(x)，y，z])-ε(θ，μ)ε(μ，θ+x)[Dθ(x)，Dμ(y)，z]=
Dθ([Dμ(x)，y，z])-ε(μ，x)Dθ([x，Dμ(y)，z])=
ε(μ，x)Dθ([x，Dμ(y)，z])-ε(μ，x)Dθ([x，Dμ(y)，z])=0.

因此[Dθ，Dμ](x)∈Z(T)，[Dθ，Dμ]∈End(T，Z(T)).若Z(T)={0}，易知[C(T)，QC(T)]={0}.