Hom-Leibniz超代数的广义导子

姚光同，贾 璐

(山东工商学院数学与信息科学学院，山东 烟台 264005)

1 预备知识

Hom-型代数是在原有代数基础上，将其定义代数的等式用一个或几个线性映射(称为扭曲映射)进行扭曲，从而得到的一类新的代数.当扭曲映射是恒等映射时，Hom-型代数便退化为原来的代数.为了刻画Witt代数和Virasoro代数的某些形变结构，Hartwig等[1]给出Hom-李代数的概念，从而开始了对Hom-型代数的理论研究.Hom-型代数与数论、Yang-Baxter方程、量子群等都有联系.[2-5]

1993年，Loday等[6]给出一种非对称代数的同调，从而Leibniz代数的概念被确定.与李代数相比，Leibniz代数的定义中少了反对称的条件，因此Leibniz代数是李代数的推广，Leibniz超代数是李超代数的推广.[7]Hom-Leibniz代数可以看成是Hom-李代数的推广[8]，因此，Hom-Leibniz超代数可以看成是Hom-李超代数的推广[9]，即Hom-Leibniz超代数包含Hom-李超代数、Hom-李代数、Hom-Leibniz代数、李代数、Leibniz超代数等.

导子和广义导子代数在李(超)代数的研究中有重要的地位.[10-11]本文将文献[4-5]中的结果推广至Hom-Leibniz超代数，主要研究Hom-Leibniz超代数L的广义导子(导子代数Der(L)、拟导子代数QDer(L)、中心导子代数ZDer(L)、型心代数C(L)、拟型心代数QC(L))的重要性质及其之间的关系.

定义1.1[5]设(L，[，]，α)是一个三元组.其中：L为域K上的Z2-阶化线性空间；[，]：L×L→L满足偶双线性，即[Lθ，Lμ]⊆Lθ+μ；α：L→L是偶线性映射.记hg(L)是L的所有齐次元的集合，(-1)x的x表示x的阶化次数.若∀x，y，z∈hg(L)，有：(1) [x，y]=-(-1)xy[y，x]；(2) (-1)zx[α(x)，[y，z]]+(-1)xy[α(y)，[z，x]]+(-1)yz[α(z)，[x，y]]=0.则称(L，[，]，α)是Hom-李超代数.

定义1.2[9]设(L，[，]，α)是一个三元组.其中：L为域K上的Z2-阶化线性空间；[，]：L×L→L满足偶双线性，即[Lθ，Lμ]⊆Lθ+μ；α：L→L是偶线性映射.若∀x，y，z∈hg(L)，有

(-1)zx[α(x)，[y，z]]+(-1)xy[α(y)，[z，x]]+(-1)yz[α(z)，[x，y]]=0，

则称(L，[，]，α)是Hom-Leibniz超代数.这里(-1)x的x表示x的阶化次数.

显然，Hom-李超代数是特殊的Hom-Leibniz超代数.

定义1.3[9]设(L，[，]，α)是一个Hom-Leibniz超代数.若……