一类超二次二阶Hamilton系统的周期解

聂千千，郭 飞

(天津大学数学学院，天津 300354)

1 主要结论

本文主要研究二阶非自治Hamilton系统

(1)

Hamilton系统周期解的存在性问题由Rabinowitz[1]于1978年解决，此后许多文献应用临界点理论和变分法对Hamilton系统周期解的存在性和多重性进行了深入研究.其中有很多文献考虑了形如(1)式的系统：在原点附近时，系统的动态行为主要由矩阵函数B(t)主导，但随着|x|的增加，能量函数F超二次增长并占据主导地位.李树杰[2]在矩阵函数B(t)是常值对称矩阵、F满足经典超二次条件下得到了系统周期解的存在性.随后李树杰和Willem[3]推广了上述结论，研究了矩阵函数B(t)为连续函数矩阵的条件下系统周期解的存在性.2014年，Pipan等[4]讨论了系统(1)在矩阵函数B(t)的元素仅是L1可积的情况下周期解的存在性问题.2016年，李林等[5]研究系统(1)时令函数F(t，u)满足下列条件：

其中λl-1和λl将在本文的第2部分介绍.在这些假设条件下，文献[5]证明了系统 (1)至少有一个T-周期解，若进一步假设F(t，-u)=F(t，u)，则证明了系统(1)有无穷多个T-周期解，结果如下：

定理1.1[5]假设函数F满足条件(F1)—(F3)，则系统(1)至少有一个T-周期解，且它的二阶弱导数L1可积.

定理1.2[5]假设函数F(t，u)关于u是偶的，满足条件(F1)—(F2)，则系统(1)有无穷多个T-周期解，且它们的二阶弱导数L1可积.

本文将条件(F2)进行了如下推广：

(F2′) 存在常数α>0，R>0，使得

该条件由唐春雷等[6]提出，本文用这一推广的条件得到了如下更为一般的结论：

定理1.3假设函数F满足条件(F1)，(F2′)，(F3)，则系统(1)至少有一个T-周期的弱解.

定理1.4假设函数F(t，u)关于u是偶的，且满足条件(F1)与(F2′)，则系统(1)有无穷多个T-周期的……