简化积分计算的一类方法

陈丹丹

在《高等数学》的学习中，很多人会被一些积分难题困扰.本文就探讨了一类简化积分计算的方法，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算.

1 利用积分区间对称性和被积函数奇偶性简化定积分计算

根据定积分的定义和性质，可以利用牛顿—莱布尼兹公式：如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的任意一个原函数，则有f(x)dx=F(b)-F(a).

换元积分法和分部积分法也是求定积分的基本方法.我们在研究定积分的计算方法的过程中，发现利用积分的对称性和被积函数的奇偶性是简化定积分计算的一个重要方法，对此我们有如下定理：

定理1 设f(x)在[-a,a]上连续，若f(x)为偶函数，则

2 利用积分区域对称性和被积函数奇偶性简化二重积分计算

二重积分的计算方法是根据计算体积的原理，将它化为累次积分来计算的，因此，定积分中利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算积分的方法，也可推广到二重积分上.

定理2 设f(x,y)在有界闭区域D上可积，

同理也可以推出D关于y轴和关于x轴y轴对称结论.

由该方法可以减少累次积分的计算量，使一些看上去复杂的积分问题简单化，为利用对称性,有时需将被积函数分拆分，将积分区域分成若干个对称子区域.

例 2 设 D 是平面上以 A（1，1），B（-1，1）和 C（-1，-1）为顶点的三角形，D1是它的第一象限部分，则

解 如图所示：连接BO，把 D 分成 D'1∪D2，D'1即三角形 AOB，D2即三角形COB.由于D'1关于y轴对称，被积函数xy关于x为奇函数；关于x轴对称，xy关于y为奇函数.

而D'1关于y轴对称……