考虑几何非线性的桥梁后颤振极限环特性

吴长青 张志田 张伟峰 陈政清

摘 要：根据桥梁断面的试验颤振导数，采用阶跃函数模拟了自激力的时域表达式，并推导了便于时域分析的自激力递推公式.采用APDL语言编制了颤振时域分析的程序并在ANSYS中实现.时域分析表明，几何非线性效应对桥梁颤振临界状态影响甚微，而对其后颤振性能影响很大.线性理论揭示的后颤振响应是一种典型的发散现象，而计入几何非线性效应后，后颤振响应最终演变为小振幅的极限环振动（LCO）.此外，能量分析表明，线性发散振动的结构储能不断增加，而考虑几何非线性时，结构储能维持在一个较低水平（LCO状态）.相比线性发散造成的灾难性毁灭而言， LCO只会对结构产生累积损伤；鉴于此，还需要综合考虑材料的强度及疲劳特性等因素，才能进一步评估桥梁结构的安全性与稳定性.

关键词：后颤振；时域分析；极限环；几何非线性；能量

中图分类号：U448.25 文献标志码：A

Limit Cycle Oscillation of Bridge Post-flutter with

Geometric Nonlinearities Included

WU Changqing， ZHANG Zhitian?， ZHANG Weifeng， CGEN Zhengqing

（Wind Engineering Research Center， Hunan University， Changsha 410082， China）

Abstract： According to experimental sectional flutter derivatives， indicial functions are applied to simulate the self-excited loads of a bridge deck section， and their recursive formulas which are essential in the implementation of FE analysis procedure are given. The procedure of time-domain flutter analysis， which is achieved by APDL language， is performed by the ANSYS software. Numerical results show that geometric nonlinearities have a negligible effect on the flutter threshold， but a significant effect on the post-flutter properties. When geometric nonlinearities are included， the post-flutter ultimately leads to a limit cycle oscillation （LCO） with a very small amplitude compared to a formidable divergence resulted from a linear method. Furthermore， the analysis shows that， in the case of linear analysis， the energy stored in the structure increases continuously as time progresses； however， this energy is limited in a quite low level （LCO state） when geometric nonlinearities are involved. Compared with the traditional divergence and catastrophic collapses， LCO results in cumulative damage that is of much more moderate； in view of this， other factors， such as the material strength and fatigue properties， are indispensable for further evaluation of the security and stability of the bridge structure.

Key words： post-flutter； time-domain analysis； limit cycle； geometric nonlinearities； energy

大跨度橋梁风致失稳现象包括静力失稳与动力失稳两类，其中静力失稳表现为侧向屈曲与扭转发散[1-2]，而动力失稳则表现为颤振、涡激共振、驰振及抖振等引起的失稳现象.颤振问题是大跨度桥梁风致振动研究中的热点问题之一.多年来，抗风设计者围绕颤振临界风速这一问题进行了广泛地研究，建立了一套成熟的颤振频域分析方法[3-7].然而，这类方法属于线性理论的范畴，局限于颤振临界问题的分析，无法准确地分析与评估大跨度桥梁结构的后颤振特性.基于线性理论可知，当风速高于颤振临界风速时，结构将会出现大变形的发散振动，这显然是一种非线性振动.然而，对于非线性颤振研究而言，频域法不再适用.因此，要准确地评估桥梁后颤振性能，必须建立一套非线性颤振的分析方法.近年来，机翼气动问题的相关研究表明，当同时考虑结构及气动力非线性或者只考虑其中之一时，机翼的后颤振行为最终表现为极限环振动（LCO）[8-10].然而，至今为止，大跨度桥梁的非线性颤振与后颤振研究的相关报道较少.究其原因主要有以下两点：第一，抗风设计者目前最关心的问题依然是结构的颤振临界问题，而这一问题在线性范围内即可得到很好地解决；第二，建立一套成熟的桥梁非线性气动弹性理论存在很大困难，目前这方面的研究还处于起步阶段.

桥梁后颤振研究中所涉及的非线性主要包括结构的非线性与气动力非线性；其中结构的非线性包括几何非线性与材料非线性，而气动力非线性则体现在自激力与运动的振幅及频率相关[11]. Tang等[10]、Attar与Dowell等[8]、Shams等[12]在仅考虑结构的非线性效应的情况下，分别揭示了不同类型机翼的颤振LCO现象.在气弹问题的研究中，通常引入半经验模型来描述机翼断面的气动力非线性特性，如Tran和Petot[13]提出了著名的ONERA动力失速模型，它被广泛应用于研究直升机桨叶的动态失速问题.随后，很多学者采用ONERA模型并考虑结构的非线性特性研究了一些机翼结构的非线性气弹问题[14-17].Leishman等[18]和Larsen等[19]也分别提出了用于研究动态失速问题的半经验模型.然而，上述提及的半经验模型均是基于机翼断面的气动力学理论建立起来的，很难直接用于桥梁钝体断面的气弹问题研究.假如桥梁的后颤振行为也表现为LCO，那么桥梁破坏与否最终由材料的强度、疲劳特性以及风荷载持续时间等内外因素共同决定.

颤振时域法由于方便考虑结构及气动力非线性效应的影响，而被广泛用于非线性气弹问题的研究中.颤振导数是描述桥梁结构气动自激力的参数，一般可通过节段模型風洞试验或CFD数值模拟得到[20].对于时域法而言，应先基于颤振导数拟合出与SCANLAN自激力模型等效的自激力时程[21-23].本文基于某大桥的试验颤振导数，采用MATLAB遗传优化算法拟合得到了用于自激力时域表达的阶跃函数，并基于ANSYS软件实现了大跨度桥梁的后颤振时域分析，评估了结构的几何非线性对桥梁颤振及后颤振性能的影响，并且从能量的角度出发，探究了结构的储能与颤振稳定性的关系.气动力非线性对结构后颤振性能的影响将在今后的研究中探讨.

1 气动自激力描述

1.1 SCANLAN自激力模型

钝体桥梁的非定常自激力一般采用SCANLAN提出的时频混合模型来描述，模型中引入8个颤振导数，将主梁单位长度的自激升力与升力矩近似描述为运动状态的线型函数[11，24]，其表达式如下：

分别为竖向位移与扭转位移对时间t的导数.为了简化，式（1）与（2）中暂未考虑侧向运动的贡献及气动弹性阻力的影响.

1.2 自激力时域模型

1.2.1 阶跃函数及其参数拟合

SCANLAN自激力模型不能直接用于时域分析，因此在进行颤振分析之前需要将SCANLAN自激力时域化，其方式主要有阶跃函数与有理函数两类方法.由于阶跃函数气动自激力模型的平均（或极限）特性具有明显的物理意义，其收敛的平均值即代表结构真实的平均响应，而有理函数的方法不具备这样的优势[25]，因此本文采用阶跃函数的方法.阶跃函数在经典机翼理论中常被用来描述风速或风攻角突然变化而引起的气动升力瞬态演变过程，表达为：

. （3）

式中：

由表3可知，数值分析与风洞试验得到的颤振临界风速与颤振频率相差较小，即表明本文的时域分析方法是可靠的.图5为不同风速作用下主梁中点的颤振响应时程曲线.观察这些曲线，可得到以下两点结论：1）不管几何非线性考虑与否，求解的颤振临界风速及颤振频率相差很小，这表明对于颤振临界问题的求解可忽略几何非线性效应的影响；2）当风速超过颤振临界值时，线性分析揭示的后颤振响应不断增大，主梁发生了明显的扭转发散现象，而非线性分析对应的后颤振响应则表现为等幅的LCO，且其振幅较小；此外，随着风速的进一步增大，LCO的振幅有所增加，并且结构进入LCO状态所需的时间也缩短了，如图5（f）与（h）所示.综上可知，结构的几何非线性效应抑制了桥梁结构的后颤振扭转响应，将发散振动最终演变为具有稳定幅值的LCO.对于90 m/s的风速（如图5（h）所示），考虑几何非线性时主梁中点的扭转LCO幅值恒为2.5°，而线性情形对应的扭转响应呈指数增长，其幅值在800 s时就高达15°.由此可见，LCO远不足以导致大跨度桥梁结构发生失稳破坏.图6给出了主梁中点的颤振扭转振动相平面图，由图可知，未考虑几何非线性效应时，扭转振动的轨线不封闭成环，轨线不断往外扩张，这是一种典型的不稳定的发散现象；而考虑几何非线性效应时，扭转振动的轨线最终处于一个稳定的封闭轨道上，即表明结构达到了稳定的LCO状态.图7所示为颤振临界状态与后颤振LCO状态下主梁中点的弯扭时程曲线，由图可知，桥梁结构的颤振表现为耦合弯扭振动，且振动频率及振动步调完全一致.

因结构变形引起结构刚度改变的一类问题都属于几何非线性问题.几何非线性通常分为大应变、大位移和应力刚化三类，其中大应变和大位移中均包括了应力刚化.应力刚化效应是指在应变位移关系中考虑了位移的二阶非线性以及前一应力状态对当前应力状态的影响.考虑应力刚化效应时，程序会自动计算应力刚化矩阵并将其添加到结构的刚度矩阵中.对于桁架、梁和壳体单元，在大变形分析中应使用应力刚化，否则得不到精确解.基于ANSYS平台的颤振时域分析，是通过设置NLGEOM，ON命令来考虑结构的几何非线性的，当NLGEOM，ON命令打开时，应力刚化效应也默认打开.ANSYS中结构的切线刚度矩阵通常包括二部分，其表达式为：

K=K0+Kσ. （24）

式中：K0为小位移刚度矩阵；Kσ为应力刚度矩阵，即几何刚度矩阵，它在每次迭代中都是变化的，因而它是非线性的.对于线性情形，则关闭大变形开关（即设置NLGEOM，OFF命令）.

如果结构的总体刚度由于几何非线性的影响而增加，刚度的增加将会限制结构的振动，反过来制约了自激力的发展，可能正是由于刚度的非线性特性引起了桥梁结构的后颤振LCO现象.Dowell在平板颤振研究中认为拉伸应变能引起的非线性膜力是触发平板结构LCO的原因，即随着振动幅值的增加，拉伸应变刚度的增加限制了振动的幅值[28].此外还有一些研究[29-30]也指出，结构系统的刚度非线性特性可能是引起颤振极限环振动的原因之一.然而，几何非线性触发桥梁结构后颤振LCO的内在机理目前仍不明确，作者暂时难以给出一种合理的方法来验证上述猜想.

需要指出的是，由于本文的颤振分析没有考虑除自激力之外的其他气动荷载（如平均风荷载、抖振力等）的作用，因此当风速小于或等于颤振临界风速时，结构的响应依然较小，此时几何非线性对颤振临界状态的影响并不明显.然而，当风速超过颤振临界值时，结构的变形逐渐增大，几何非线性的影响则主要体现在桥梁的后颤振响应中.

对于颤振系统而言，振动能量主要通过结构阻尼与气动阻尼耗散.气流输入结构的总能量减去系统阻尼耗散的能量后剩余的能量为结构储存的能量（包括动能与弹性应变能两部分）.结构的储能越大，结构的稳定性越差.因此，可通过考察颤振过程中结构储能的变化情况来评估桥梁结构的颤振稳定性.

以扭转自激振动（即式（31）表达的能量方程）为例，考察大跨度桥梁在扭转振动中的结构储能的变化情况.图8给出了桥梁主跨跨中附近单位长度主梁在振动过程中的结构储能的时程曲线.当风速低于颤振临界值（U=60 m/s）时，不论是线性情形还是非线性情形，结构储能均随着时间的推移逐渐衰减至零，如图8（a）与（b）所示；这表明振动系统的阻尼耗散了结构振动的能量，结构的响应衰减至零.当风速达到临界值时，结构储能曲线呈现出小振幅的极限环形式，且幅值保持不变，如图8（c）与（d）所示；这表明阻尼耗散的能量与结构从气流中获得的能量最终达到了动态平衡状态，即在完整的振动周期内，气流对系统的储能贡献为零，最终使得结构呈现出一种稳定的LCO状态.当风速大于临界值（U=90 m/s）时，线性情形对应的结构储能随着时间的推移而呈指数式增长，如图8（e）所示，这意味着气动自激力对结构总体上做正功，气流不断向结构输入能量，结构的响应不断增大，这对应于一种颤振发散现象；然而，非线性情形对应的结构储能随着时间的推移最终呈现出极限环的变化形式，如图8（f）所示，这与颤振临界状态下的情形类似，即结构的储能最终也处于一种动态平衡状态.

（a）线性； U=60 m/s （b）几何非线性； U=60 m/s

（c）线性； U=64.6 m/s （d）几何非线性； U=64.8 m/s

（e）线性； U=90 m/s （f）几何非线性； U=90 m/s

图8 结构储能时程曲线

Fig.8 Histories of the energy stored in the structure

3 结论

根据试验颤振导数，采用MATLAB遗传优化算法拟合得到了用于自激力时域表达的阶跃函数，并基于ANSYS平台实现了大跨度桥梁结构的颤振时域分析，探究了结构的几何非线性对大跨度桥梁颤振临界状态及后颤振行为的影响.通过对某大跨度桥梁进行颤振分析，得到如下结论：

1）几何非线性效应考虑与否，得到的颤振临界风速及颤振频率几乎是一致的.这表明桥梁的颤振临界状态在线性范围内即可得到准确解，几何非线性的影响可以忽略不计.

2）几何非线性效应对桥梁后颤振行为的影响显著，线性方法揭示的后颤振响应为振幅无限增大的发散现象，而考虑几何非线性时的后颤振行为则表现为较小且稳定幅值的LCO.此外，桥梁后颤振LCO下的竖向与扭转振动频率相等且振动步调完全一致.

3）从结构储能的时程曲线可知，考虑几何非线性效应时，后颤振对应的结构储能曲线最终呈现出幅值较小的极限环形式；这表明系统阻尼耗散的能量与结构从气流中获得的能量最终达到了一个动态平衡状态，即在完整的周期内，气流对系统的储能贡献为零，最终使得结构呈现出一种稳定的LCO状态；当不考虑几何非线性时，结构储能曲线呈指数式增大，即随着振动周期的推移，气流不断地向结构输入能量，结构响应不断增大，这对应于颤振发散状态.

4）较小振幅的稳态LCO并没有传统线性方法下的扭转发散可怕，因为它并不能在短时间内致使结构发生灾难性破坏；鉴于此，要进一步评估桥梁结构的稳定性与安全性，应综合考虑风荷载的变化特性与材料的强度、疲劳特性以及构件薄弱环节等结构强健性因素.

需要说明的是，本文的颤振分析暂未考虑气动力非线性的影响，这是由于准确描述桥梁断面的真实气动力非线性特性目前依然存在较大困难.然而，有关机翼及平板断面的后颤振研究表明，气动力非线性可显著地影响结构的后颤振性能.因此，综合考虑结构几何与气动力非线性的桥梁后颤振特性研究将是一项具有挑战且意义重大的课题.

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