对一道高三模考题的深入思考

王 鑫

(常州市第三中学，江苏 常州 213000)

1 问题的提出

2018年南京市高三一模试卷第9题是一道弹簧双振子问题.此题在南京市物理教研群中引起了广泛的讨论.很多一线教师对此题的最后一个选项也存在疑惑.笔者对这道考题也进行了较为深入的思考.为将该问题分析透彻,本文从定性和定量两个维度进行了分析,同时利用GeoGebra软件将两物体的各个运动参量的变化情况进行了呈现.希望本文的分析能够给其他一线教师一些参考.

2 原题回放

图1

如图1所示两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接,B足够长、放置在水平面上,所有接触面均光滑,弹簧开始时处于原长,运动过程中始终处在弹性限度内,在物块A上施加一个水平恒力F,A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中,下列说法中正确的是有

(A)A的加速度先增大后减小.

(B)B的加速度一直增大.

(C) 当A、B的速度相等时,弹簧的弹性势能最大.

(D) 当A、B的加速度相等时,两者的动能差最大.

3 定性分析

A、B两物体从静止开始运动到第一次速度相等的过程中,A物体在水平方向受向右的拉力和向左的弹簧弹力,B物体在水平方向只受向右的弹簧弹力作用,随着形变量增大,弹簧弹力增大,A物体的加速度逐渐减小,B物体的加速度一直增大.由以上分析容易知道当两物体速度相等时,两物体相距最远,弹簧弹性势能最大.对于最后一个选项可以做以下定性分析:

取A和B为系统,利用动量定理得

Ft=mvA+mvB,

化简得两物体动能差为

对两物体的动能差求导得

从求导的结果中容易发现当两物体的加速度相等时,两物体的速度并不相等,这意味着动能差的一阶导数不为0,所以动能差在加速度相等时并没有达到最大值,原题中的(D)选项得以解释.细细思考,这种定性分析的方法虽然能够说明选项的正误,但是对学生的数学要求较高、对于物理过程的分析过于淡化,介于以上原因,下文针对恒力作用下的弹簧双振子进行了定量分析.

综上所述,病程较长、文化水平较低、使用糖皮质激素类药物为慢性荨麻疹患者治疗依从性差的影响因素,提示了对此类患者进行健康教育的重要性。

4 定量分析

取A、B为系统,初始时系统质心处于静止状态,取向右为正方向,利用质心运动定律

F=2maC,

系统的质心加速度为

系统质心做初速度为0的匀加速直线运动,质心速度为

vC=aCt.

在质心参考系中,质心将原弹簧分成等长的左右两根弹簧,每根弹簧的劲度系数变为

kA=kB=2k.

A、B两个物体相对质心做简谐运动,以A为研究对象,引入惯性力,方向与F的方向相反.

弹簧拉伸x0时处于弹簧振动的平衡位置,

简谐运动的振幅和圆频率分别为

振子运动的最大速度

容易得A相对于质心的速度为

va′=vmsinωt,

B相对质心的速度为

vB′=-vmsinωt.

A相对地面的速度为

B相对地面的速度为

对速度求导,A、B两物体相对地面的加速度分别为

利用GeoGebra软件作出A、B两物体的加速度图像和速度图像分别如图2和图3所示：

图2

图3

两物体的动能差为

图4

将动能差的图像与加速度图像合并在一张图上进行比较如图4所示.

从图3中可以直观看出,从静止开始到第一次速度相等过程中,A的加速度逐渐减小,B的加速度逐渐增大.从图4中不难看出,当两物体的动能差最大时,两物体的加速度并不相等,原题的选项得到准确解释.

5 结束语

本文从定性和定量两个维度分析了恒定外力作用下弹簧双振子的运动规律.在定量分析的过程中通过引入质心系,利用质心运动定理将复杂的弹簧双振子模型转化为简单易懂的弹簧谐振子模型.在数据分析的过程中通过GeoGebra软件将复杂的运动过程进行了直观的呈现.这里笔者只是给出较为简单的处理方法,当然通过质心运动定理来求解微分方程也能描述弹簧双振子模型,这里不做展开.