三次函数的命题相关思考

张秋鸿

(福建省龙岩市漳平二中 364400)

对最一般的三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一类的问题，从解题的角度来看，可以经过平移将三次函数的拐点(即三次函数的对称中心点)移到原点处，使问题简化，从而较为简单地解决问题.此时三次函数都可化为y=ax3+px(a≠0)，以下称该型为标准型三次函数.过程如下：

另上面也可这样变形：

此时只须上下平移即可变为标准型三次函数.

经过以上分析，要解决三次函数问题，实际上解决标准型问题即可.同样的思维方法用在有关三次函数问题命题时有很好的帮助.一方面可以在标准型上研究，然后推广到一般情形，另一方面也可以命好题后放到标准型上继续研究.

不妨假设标准型三次函数的三次项系数a>0，则显然有以下性质：

1.函数为奇函数，原点为其对称中心点;

2.当p≥0时，函数在R上为增函数，没有极值;

(1)若对任意的m∈(t,x2]，线段MP与曲线f(x)均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

(2)若存在点Q(n,f(n))，x1≤n

分析(1)在过点M的直线中，除平行于x轴外恰好还有一条与曲线相切，且切点在O点与N点之间.此时如果斜率继续增大，在P点两侧均有交点.可见，相切时的切点是线段MP是否与曲线有异于M，P的公共点的临界点.曲线在P处的切线斜率为f′(m).

m=-2时即为M点，故m=1.

(2)若m∈(0,2]，只要取Q为P关于原点的对称点，因为f(x)为奇函数，显然PQ线段过原点，而原点在曲线上，所以m∈(0,2]符合题意.

若m∈(-2,0]，因为-2

本题若为普通三次函数(如09福建卷)则明显加大难度了，因为函数的图象不清，不能应用数形结合，特别是(2)问难度就更大了，所以原题(09福建卷)只要求写出结果，而不要求证明.

该题用很基本的三次函数，但却考查了科学严谨的数学分析的思想方法，对中学阶段来说属灵活性，难度都较大.试题有较好的区分度，不过有不足的地方就是起点门槛高，对不能理解题意的考生基本得不到分数.

分析本题关键在两点：

1是切线l1上两倍的切点横坐标和切线与曲线另一交点横坐标和为零；(把切点当两个点看，即有切线与曲线交点的横坐标和为零，如本题2xP1+xP2=0)

∴a(x-x1)2(x+2x1)=0.∵x≠x1，

∴x+2x1=0，即x2+2x1=0,即有2xP1+xP2=0.

另一方面：

拐点处切线方程为：y=px，与f(x)联立方程有：

事实上，对上述的第一点有：对三次函数y=ax3+px(a≠0)，如果与直线y=kx+b有三个交点，则三个交点的横坐标和为零.特别地，当直线与曲线相切时，切点用两点计算.联立两方程，因为ax3+px=kx+b，即有ax3+

(p-k)x-b=0，由x2项的系数为零，根据韦达定理容易得到：x1+x2+x3=0.

把上述推广到一般情形有：对一般三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，如果与直线y=kx+b有三个交点，则三个交点的横坐标的平均值为三次函数拐点的横坐标.(如果直线与曲线相切，则切点用两点计算)可以把这一性质设计成试题，让考生猜想，同样的，考生不容易观察到，对数学思维有很高的要求.