矩形折叠问题的深度探析

朱晓勤

折叠问题是中考中的一个热点问题，最常见的是矩形折叠，它对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了较高的要求。折叠操作，简单的说，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。折叠问题的实质是图形的轴对称变换，变换前后两个图形全等，折痕就是对称轴，对称轴是对应点连线的垂直平分线。折叠更突出了轴对称问题的应用，所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质。

矩形折叠存在着翻折前后两个图形全等，下面我们继续探究，还会发现以下结论。

例如：在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠，

若点B落在线段CD的点F处，这时有∠AFE=90°，从而有△ADF∽△EFC。

那么，当点F不落在边CD上时，点E是BC边上的一个动点，我们会发现，这样的翻折有无数多种，即折痕是不固定的，但根据轴对称的性质，AF始终等于AB，所以点F运动的路径是以A圆心，AB为半径的圆。

根据对称性，可以知道BF⊥AE，因此在矩形折叠中存在以下重要的结论。

1.两点一线，构成十字形。

对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。

2.图中无圆，心中有圆。

翻折中，绕着某个点翻折的过程，就相当于绕着这个点旋转，即形成隐形圆。

在解题过程中，我们灵活利用上面的结论，会收到意想不到的收获，使复杂问题简单化。

一、利用“十字形”，化难为简

（1）如图1，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长。……