圆锥曲线最值问题常见题型与解题技巧分析

裴尧

摘 要：在近几年高考数学试卷中，圆锥曲线作为重要考点占高考数学试卷总分数的15%左右，占解析几何考点的75%左右。由此可以看出，圆锥曲线问题在解析几何中的重要程度，尤其是近几年圆锥曲线问题在高考试卷中所占分数始终保持相对稳定的比例。作为解析几何的一部分圆锥曲线问题在高考试卷中出现的题目形式往往灵活多变，对于学生的知识点考察方式更偏重于对于知识点的综合使用。由于圆锥曲线问题知识点的特性导致高考出题组教师往往将圆锥曲线问题作为高考数学试卷最后压轴题出现。特别是在2009年高考数学试卷中出现的求圆锥曲线最值问题成为了当年高考数学试卷中极为精彩的一笔，不仅仅在解题过程中与函数、不等式、三角函数这些高考重要考点相联系，而且运用极为灵活的方式考察了学生对于圆锥曲线基础知识的熟练程度。圆锥曲线问题因为与其他高考重要知识点关联性起强的特性，用来考察学生对于知识点的掌握程度、逻辑思维能力水平以及综合利用所学知识解决问题的能力效果显著。所以学生如果想要在高考数学试卷中达到满意的分数，对于圆锥曲线要深入了解熟练掌握。

关键词：最值问题；常见题型；解题技巧

一、圆锥曲线最值问题常见解题技巧

（一）圆锥曲线定义法

通过圆锥曲线的定义和性质解决一些问题，在利用代数或者几何求出最值，使得题干的数量关系更为明确。

（二）椭圆与双曲线参数法

通过椭圆和双曲线参数方程转化变形成为三角函数，也可以将直线或者抛物线方程转变为函数方程进行解答。

（三）函数法

通过二次函数的配方或者均值不等式或者判别式来解答最值问题。

（四）平面几何法

通过圆锥曲线的定义、形状、性质利用数形结合的想法，将题干中给出的条件在平面几何图形上表现出来，利用平面几何知识将几何量之间的大小关系或者曲线的位置关系通过不等式表现出来，通过解决不等式解决圆锥曲线问题。

（五）基本不等式法

利用不等式中“等号成立”的条件解决圆锥曲线最值问题。

二、圆锥曲线最值问题常见题型

1、圓锥曲线定义法

有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。

例1 已知抛物线Y2=4X，定点A（3，1），F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P，使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。

分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|，即为最小值。

解：如图，因为Y2=4X，所以p=2，焦点F（1，0）。由点A引准线x=-1的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|，即为最小值.（|AP|+|PF|）min=4.

由，Y2=4X，Y=1得p（1/4，1）为所求点.

若另取一点p′，显然|AP′|+|P′F′|=|AP′|+|P′Q′|>|AP|+|PQ|。

几何法解决圆锥曲线最值问题就是利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求|AP|+|PF|/e的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。

2、椭圆与双曲线参数法

利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。

椭圆的切线x2/a2+y2/b2=1与两坐标轴分别交于A，B两点，求三角形OAB的最小面积。

分析；写出椭圆参数方程x=acos|OB|和Y=bcosβ，设切点为p（acosβ，bcosβ），可得切线方程。

解：设切点为p（acosβ，bcosβ），则切线方程为cosβ·X/a+cosβ·y/b=1.

令y=0，得切线与x轴交点A（a/cosβ，0）；令x=0，得切线与y轴交点B（0，b/cosβ，所以S△AOB=1/2|oa|·|OB|=|ab/2sinβcosβ|=|ab/sin2β|≤ab.所以Smin=ab。

参数法解决圆锥曲线最值问题就是利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。

3、函数法

将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解。

例3 过动直线x+2y=p与定直线2x-y=a的交点（其中p∈（0，3a]）的等轴双曲线系中X2-Y2=入，当p为何值时，达到最大值与最小值？

分析：求出交点坐标代入双曲线，可得的二次函数表达式，再利用函数方法求解。

解：由2x-y=a和x+2y=p，得【Q（p+2a）/5，（2p-a）/5】交点，

交点Q坐标代入双曲线，入=x2-y2=【（p+2a）/5】2-【（2p-a）/5】2=（-3p2+8ap+3a2）/25=【-3[p-（4a/3）]2+25a2/3】.p∈（0，3a]

当p=4a/3，入max=a2/3，又0

当p=3a时，入min=0

函数法解决圆锥曲线最值问题就是把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。

4、平面几何法

将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离等求解。

例4 已知椭圆（x2/12）+（y2/3）=1和直线l：x-y+9=0，在l上取一点M，经过点M且以椭圆的焦点F1，F2为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。

分析；设F1′是F1关于l对称点，可求出F1′坐标，过F1′F2的直线方程与x-y+9=0联立得交点M为所求。

解：由椭圆方程X2/12+Y2/3=1，得F1（-3，0），F2（3，0）设F1′是F1关于l对称点，可求出F1′坐标为（-9，6），过F1′F2的直线方程：x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M（-5，4），即过M的椭圆长轴最短。

由|MF1|+|MF2|=2a，得2a=6√5，∴a2=45，c2=9，∵b2=36，所求椭圆方程为（x2/45）+（y2/36）=1.

几何法解决圆锥曲线最值问题就是在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中"三角形两边之和大于第三边"是求最值常用的定理。同时，利用平几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。

5、基本不等式法

列出最值关系式，利用均值不等式"等号成立"的条件求解。

例5 过椭圆2x2+y2=2的焦點的直线交椭圆A，B两点，求△AOB面积的最大值。

分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。

解：椭圆焦点（0，±1），设过焦点（0，1），直线方程为y=kx+1与2x2+y2=2联立，消去y，得（2+K2）X2+2kX-1=0，其中两根X1，X2为A，B横坐标。将三角形AOB看作△AOF与△FOB组合而成，|OF|是公共边，它们在公共边上的高长为|X1-X2|.∴S△AOB=（|OF|·|X1-X2|）/2，其中|OF|=c=1.

∴S△AOB=（|X1-X2|）/2=[√（X1-X2）2-4X1X2]≤（√2）/2.当k2+1=1/（k2+1）即k=0时，取等号，

即当直线为y=1时，得到的面积最大值为（√2）/2。

点悟：利用均值不等式求最值，有时要用"配凑法"，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2、不等式的一边为常数；3、等号能够成立。其中正确应用"等号成立"的条件是这种方法关键。圆锥曲线最值问题涉及知识较多，在求解时，要多思考、多联系，合理进行转化，以优化解题方法

三、结束语

通过以上圆锥曲线最值问题常见题型简单介绍与解题技巧的整理归纳可以得知，圆锥曲线问题在高考中不仅仅要掌握其自身的知识点，还要灵活运用与其他高考重要知识点相结合，建立起知识点的网状连接图，才能适应和应对多变的题型；求解过程中又要对函数、不等式、三角函数、平面几何等重要知识点灵活的运用，才能在高考数学试卷中挖掘出出题老师隐藏在题干中的提示点。

（作者单位：四川省泸州市高级中学校）