数学结构思想在解题教学中的应用

☉安徽省无为中学 丁福全

一、问题的提出

例1函数y=（fx）的图像上有一点P，y=g（x）的图像上有一点Q，点P，Q之间的距离记作|PQ|，且能取到最小值d，那么将d称为函数y=（fx）与y=g（x）之间的距离.按此定义，求函数之间的距离.

此题求解有两个突破点：

（1）y=（fx）是一个幂函数，图像即为抛物线y2=x在第一象限的曲线；y=g（x）是圆（x-2）2+y2=1在第一象限的半圆曲线.

（2）点P到定圆上点Q的距离应转化为点P到圆心的距离.

事实上，解决例1时如果能够联想一类题目就会有一定的突破，如引例：求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离.

圆上的动点到某直线的距离可以借助圆心到该直线的距离的探究来实现.利用圆的特征并因此实施“动”到“定”的转化，结合引例对例1展开分析，区别在于y=（fx）的图像不是直线，又因为P是动点，因此应设点P的坐标并表示出点P到圆心的距离，最终借助函数使问题得到解决.

由此我们可以观察到数学结构思想在解题中所起的作用，因此，教师在平时的教学中应积极引导学生对题中的数学结构与知识特征进行理解与分析并使其积累、掌握一定的数学知识结构与模型，最终运用动态思维使问题得以转化，知识得以创新.

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二、数学结构思想

法国布尔巴基学派结合皮亚杰等发展起来的结构思想这一现代教育理论建立了数学结构思想学说，将数学的发展认定为是各种结构的建立与发展这一理论具体探讨了诸多数学结构间的统一性.

一般来说，数学结构通常分为纯数学结构与一般数学结构两大类，从宏观角度来看的纯数学结构主要包含代数结构、拓扑结构、顺序结构等诸多内容.在强调数学知识间联系的这一条件下所提出的一些数学结构是这里所指的一般数学结构，这是为实现数学的教育功能而强调的.方程或方程组的同解变换结构、与数的知识有关的复数的分类结构、解题或证明的程序结构、各种数学模型结构等都是一般数学结构所包含的内容.侧重“结构”这一核心的数学结构思想倡导在数学表面差异的研究上对数学知识间的联系与一致性、数学的本质进行认识、探索与处理.

由此可见，学生在数学学习时建构完整的结构体系离不开数学结构思想的有力支撑，因此，教师在解题教学时应积极渗透数学思想方法并因此促进学生分析、解决问题能力的大幅提升.

三、数学结构思想在解题教学中的应用

1.运用结构进行联想并因此实现转化

数学结构思想的运用对于学生整体性数学思维水平的提升来说具有极大的意义.根据探索知识能力间的结构联系这一思想内涵开展解题教学能够使学生更好地抓住问题的本质.比如，教师在例1的解题教学中运用引例并借助变式训练使学生能够很快对已有数学结构进行提取，并因此使学生对知识间的区别与联系更加明确，学生在此基础上很快对已有知识结构进行了提升与转化并因此实现了创造性思维的生成继而获得解题的方法.

2.引导学生在结构的感知中识别特征并因此建构体系

学生良好数学认知结构的建立必须建立在对数学结构思想的理解与掌握这一基础之上，不同角度的考虑往往会令一道题目甚至一个已知条件产生新的理解与认识，因此，教师在解题教学中应引导学生对题中的数学结构进行体会与感悟，使得各种结构所具备的知识特征得到更好的识别并产生最为合理的解题办法.

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求∠C的取值范围.

方法1：由“两边一对角”这一结构特征进行体会与感悟并联想“正弦定理判断三角形解的数量”这一知识进行解题，借助图形有1≥2sinC，得到再结合C∈（0，π），得

方法2：由“两边一对角”这一结构特征进行体会与感悟并联想“余弦定理表示角”这一知识进行解题，设AC=x，借助余弦定理得结合x的范围并利用基本不等式可得再结合C∈（0，π），得

方法3：感知三角形中已知的边AB∩BC=B这一结构特征，联想作三角形图并观察C的变化等知识先确定边BC，然后再以B为圆心、1为半径作圆并找出顶点A的轨迹，最终再确定∠C的变化并结合C∈（0，π），得

我们从此题的不同解法中不难窥见学生解题过程中的思维闪烁，因此，结构思想指引下的数学解题教学对学生的思想与见解不能随意否定，学生在多种数学知识结构的积累与深化中也能够更加完善地构建起系统的知识体系.

3.帮助学生学会分析结构并因此顺利归纳和推理

有些学生在解题时并不能较快地抓住题中的突破点，数学结构思想观下的数学教学应引导学生合情推理，帮助学生领会并掌握特殊到一般的方法，使学生在掌握类比归纳等方法的前提下能够分析题中的知识结构并顺利建立恰当的数学模型，简化目标，更快解题.

例3如图1，青蛙第一步从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A起跳，它的每一次跳跃都跳向了相邻的那个顶点.

（1）跳三步跳到C1的概率P为多少？

图1

（2）如果跳五步并将跳到过C1的次数用X来表示，那么随机变量X的概率分布及数学期望E（X）应该是怎样的呢？

分析：解决此题的关键在于从点A跳到其他各顶点至少需要的步数.将A标为0，A1，B，D标为1，B1，C，D1标为2，C1标为3.

解：（1）三步共3×3×3种选择，

四、结论

基于数学结构思想的解题教学能够借助变式、一题多解等多种教学方式帮助学生对各种数学结构进行领悟与掌握，使学生在各种变式中更好地体会其中所蕴含的数学思想.因此，教师在解题教学中应培养学生利用已有的数学知识结构与模型并因此加深自己对所学公式、概念与定理的掌握，使学生能够学会寻找知识间的联系并进行知识特征的识别与合情归纳推理，最终实现解题能力的突飞猛进.