一道课本习题的拓展

安徽省合肥市第六十八中学 (邮编：230601)安徽省合肥市第八中学 (邮编：230601)

对课本的题目进行多方面的拓展、变形，找出在条件不变的前提下，与它平行的结论，和把题中的条件进行适当的变形，得出有关的结论.这样的变式教学既调动学生学习的积极性，又培养学生的创新意识及发现问题和解决问题的能力，从而更有效地培养学生的数学核心素养.下面以一道课本习题为例，以期抛砖引玉.

图1

题目已知：如图1，AB为⊙O的直径，EF交⊙O于C、D两点，AE⊥EF，BF⊥EF，E、F为垂足.求证：CE=DF.

分析一般容易想到常用的辅助线(即作弦心距OH)，利用垂径定理和平行线等分线段定理来证明.

证明作OH⊥CD于H，所以CH=DH.

因为AE⊥EF，BF⊥EF，所以AE∥OH∥BF.又OA=OB，所以EH=FH，故EH-CH=FH-DH，即CE=DF.

拓展1这个题目还能得出其它结论吗?

(3)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，从而∠ACE+∠BCF=90°，又∠ACE+∠EAC=90°，所以∠EAC=∠BCF.

又∠E=∠F=90°，所以ΔAEC∽ΔCFB.

(4)因为ΔAEC∽ΔCFB，所以AE∶CF=EC∶BF，所以CF·EC=ab.又CF+EC=EF=c，所以CF、CE是一元二次方程x2-cx+ab=0的两根.

(5)因为A、B、D、C四点共圆，所以∠BAC=∠BDF，又∠ACB=∠F=90°，

所以△ABC∽△DBF，故(AB+AC+BC)∶(BD+DF+BF)=AB∶BD.

拓展2当把弦CD向上移动时，结论会有什么变化吗？

图2

分析如图2，(1)利用垂径定理和平行线等分线段定理来证明(证明过程见上面题目的证明)；(2)延长BF交⊙O于M，连结AM，延长OH交AM于N，利用三角形中位线定理和矩形的性质得证.

拓展3当把弦CD向下移动时，又会怎样呢？

图3

当把弦CD向下移动，使其与⊙O相切于H点(C、D点重合于H)，其它条件不变，结论有：(1)EH=HF；(2)OE=OF；(3)AB=AE+BF；(4)若又知AE=2，BF=3，求四边形AEFB的面积.

分析如图3，(1)利用平行线等分线段定理来证明；(2)利用等腰三角形“三线合一”的性质证明；(3)利用梯形的中位线定理和AB=2OH即可得证；(4)利用梯形的面积公式求四边形AEFB的面积.

证明(1)连结OH，因为EF切⊙O于H，所以OH⊥EF，又AE⊥EF，BF⊥EF，所以AE∥OH∥BH，又OA=OB，故EH=FH.