“降维类比”：由三角函数余弦和角公式联想到二面角大小

周如俊

求解二面角大小问题是高考的热点问题.传统解题方法主要有定义法、三垂线法、垂面法、异面直线的距离法、法向量法.因此其求解中作图思维与推理具有一定难度.本文运用“降维类比法”，在三角函数余弦和角公式基础上类比出的二面角大小求解的“通用”公式，把空间形体转化为平面图形有关角的计算，能给予学生一定的解题思维程序，降低题目难度与思维难度，具有直观、简捷、套用明快的优点.

1问题提出

有关三面角公式求解二面角大小问题，一些文献作了探究，但是所推出的公式形式不一，也难以记忆【1】【2】【3】.笔者备课中研究发现，两角和与差的余弦公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ也是求二面角大小的“计算公式”（“三线四角”公式）的一种特例.这种由三角函数余弦和角公式“降维类比”（即三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象）出二面角大小计算“通用”公式，只需计算出同一顶点发出的三个线线间角，即可快速求出二面角大小.

图1

三角函數余弦和角公式如图1，OA、OB、OC是一平面内共端点的三条射线，记∠AOB=θ1，∠COB=θ2，∠AOC=θ，直线EF与OB垂直（垂足为H），且直线EF分别与射线OA、OC相交于E、F两点.则由三角函数和角公式有：

cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2-sinθ1·sinθ2.

考虑到直线EHF，∠EHF=180°，则有：

cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cos180°

即：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cos∠EHF（*）

图2

三面角余弦定理如图2，将图1中射线OA、OC分别围绕OB旋转到任意位置，形成“三线四角”（共点三条射线两两所成的面角以及它们所构成的一个二面角）.类比公式（*），可得二面角A-OB-C（记二面角大小为α）的一个“通用”计算公式（简称“三线四角”公式）.此公式又称为三面角余……