化繁为简，巧用直线的参数方程

程璐

摘 要：本文主要从四个方面，举例说明如何使用直线的参数方程，求弦长，解决中点问题，求轨迹方程，证明相关等式，通过直线的参数方程可以化繁为简，有效提高做题效率。

在平面几何里，一些关于焦点弦长、某点的坐标、轨迹方程、等式证明等类型的题目，我们可以考虑运用直线的参数方程去分析解决。它的优点在于，能化繁为简、减少计算过程，从而明显提高做题效率。

首先，直线的参数方程的标准式：过点 倾斜角为 的直线 参数方程为 （t为参数， 为直线的倾斜角）

t的几何意义是：t表示有向线段 的数量， 为直线上任意一点。

一、用直线的参数方程求弦长相关问题

如果知道过某点的某一直线与一个圆锥曲线相交，要求出直线被截的弦长。我们可把这一直线的参数方程代入圆锥曲线的方程里，然后利用韦达定理和参数t的几何意义得出弦长。

例1过点 有一条倾斜角为 的直线与圆 相交，求直线被圆截得的弦长。

分析：1、考虑点P在不在圆上；2本题用一般方法解要写出直线方程，然后代入圆方程，要想求出弦长过程比较复杂、 计算量大；3、适合运用直线的参数方程进行求解。解：把点 代入圆的方程，得 所以点P不在圆上，在圆内可设直线与圆的交点分别为A、B两点由题意得直线的参数方程为 ，（t为参数）代入圆的方程，得 整理后得 ①因为Δ= 设①的两根为 ，即对应交点A、B的参数值，由韦达定理得 ； 由t的几何意义，得弦长

评注： 此类求弦长的问题，若运用直线的参数方程参数方程去解，根据参数t的几何意义和韦达定理就能比较简捷的求出弦长。……