“两角和与差的余弦公式”：从历史中找价值、看证明

张益明�┒≠晃�

摘 要：采用HPM视角来设计“两角和与差的余弦公式”的教学：利用阿里斯塔克斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入，让学生感受两角和与差的正、余弦公式产生的必要性；利用帕普斯模型引导学生证明公式，并对帕普斯模型做适当改进；通过微视频介绍麦克肖恩方法的历史背景，再让学生阅读教材学习这一证明方法并谈谈感悟，体会麦克肖恩当时的想法。课后反馈表明，这样的教学沟通了历史和现实、数学和人文，体现了“知识之谐”“探究之乐”“方法之美”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。

关键词：HPM 价值 证明 两角和与差的余弦公式

“两角和与差的余弦公式”是沪教版高中数学一年级第二学期第5章《三角比》中重要的三角恒等式之一。教材在引入部分指出，在三角比的计算和化简中常用角α和角β的三角比来表示角α+β或角α-β的三角比，由此引入两角和与差的正、余弦公式。这里，教材并未清晰地揭示知识产生的必要性，难以激发学生的学习动机。此外，教材在建立部分利用单位圆，通过旋转，再根据两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式（苏教版教材也给出了这一方法）。这一方法虽然简洁明了，学生容易掌握，但是不够自然，学生很难想到。因此许多教师都尝试对“两角和与差的余弦公式”的教学进行改进，然而很少有人从数学史的视角来设计教学。

美国数学史和数学教育家史密斯（D.E.Smith，1860～1944）认为，数学史展现了不同方法的成败得失，因而今人可以从中汲取思想养料，少走弯路，获取最佳教学方法。……