“圆”专题复习

2018-10-25 11:49张杭嫣
初中生世界 2018年39期
关键词:圆心角圆周角扇形

张杭嫣

圆,是几何图形中最完美的图形,也是初中几何中不多见的曲线图形.在这一章中,知识点众多,很多同学学得较为吃力.本文通过一组例题来为大家梳理本章知识点,构建知识网络.

知识点一:圆中的角——圆周角和圆心角

圆周角和圆心角是圆中两类特殊的角,根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”这条定理,可以将这两类角进行互相转换.

例1△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是( ).

A.80° B.160°

C.100° D.80°或100°

【分析】首先根据题意画出图形.如图1,画图时要特别注意,△ABC可能为锐角三角形,也可能为钝角三角形,因此要对点B在优弧和劣弧上两种情况加以分析,由圆周角定理即可求得∠ABC的度数,再根据圆的内接四边形的性质,可求得∠AB′C的度数.

解:如图1,∵∠AOC=160°,

图1

∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°.

∴∠ABC的度数是:80°或100°.

故选:D.

【点评】看到圆中的角,我们往往要根据图形先分析:这是圆周角,还是圆心角?利用哪条弧可以进行转化?同时在没有图形或点在圆周上运动时,我们也要进一步思考:答案是不是唯一的?有没有不同于此时的情况?要注意数形结合与分类讨论思想的应用,注意别漏解.

例2 如图2,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,分别连接AC,BC,CD,OD.若∠DOB=140°,则∠ACD=( ).

图2

A.20° B.30° C.40° D.70°

【分析】根据条件“AB是⊙O的直径”,我们能轻松得到∠ACB=90°,再根据圆周角定理,由∠DOB求出∠DCB的度数,从而求解.

解:∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∵∠DOB=140°,

∴∠DCB=70°,

∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=20°.

故选:A.

【点评】圆中我们可以常见到两类特殊三角形:当出现两条相等的半径时,我们就找到了等腰三角形;当出现直径时,我们利用“直径所对的圆周角是直角”,就可以找到直角三角形.

知识点二:圆中的弦——垂径定理

例3如图3,AD是⊙O的直径,弦BC⊥AD于E,AB=BC=12,则OC= .

图3

【分析】根据条件弦BC⊥AD,我们找到了垂径定理的条件,求得BC=6,进一步在Rt△ABE中,求出特殊角度30°,再将30°角转化到Rt△COE中,从而求解OC的长度.

∵AB=12,

∴Rt△ABE中,∠A=30°,

∴∠COE=2∠A=60°,

∴Rt△COE中,OE=2 3 ,OC=4 3.

【点评】垂径定理结论中的“平分”既能产生边的结论,又能通过弧产生角的结论,结合垂径定理中的直角,是一个很好的基础模型.

例4如图4,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD的长.

图4

【分析】过O作OF垂直于CD,连接OD,利用垂径定理得到F为CD的中点,由AE+EB求出直径AB的长,进而确定出半径OA与OD的长,由OA-AE求出OE的长,在直角三角形OEF中,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长,在直角三角形ODF中,利用勾股定理求出DF的长,由CD=2DF即可求出CD的长.

解:过点O作OF⊥CD,OF交CD于点F,连接OD,如图5.

图5

在Rt△OFD中,OF=1,OD=4,

根据勾股定理得:

【点评】圆中已知弦,要求弦长的问题,我们可以尝试用构造垂径定理的直角三角形来解决,而本题中的30°角又提供了一个更特殊的直角三角形,进而可以综合解题.

知识点三:圆中的线——切线

例5如图6,AC是⊙O的直径,PB切⊙O于点D,交AC的延长线于点B,且∠DAB=∠B.

∴F为CD的中点,即CF=DF,∵AE=2,EB=6,

∴AB=AE+EB=2+6=8,

∴OA=4,∴OE=OA-AE=4-2=2,

在Rt△OEF中,∠DEB=30°,

图6

(1)求∠B的度数;

(2)若BD=9,求BC的长.

【分析】由PB为圆的切线,利用切线性质,得到PB与OD垂直,在△ODB中,利用三角形的内角和定理即可求出∠B的度数,进一步可求出线段BC的长.

解:(1)连接OD.

∵PB切⊙O于点D,∴OD⊥PB

∵OA=OD,

∴∠COD=2∠A,而∠A=∠B,

∴∠COD=2∠B,

∴在Rt△BOD中,∠B=30°.

(2)∵在Rt△BOD中,BD=9,

【点评】切线是圆中过圆上一点的一条特殊的线,“见切线,找半径,得垂直”,因此,利用切线,我们可以轻松地找到直角三角形,进一步结合勾股定理等综合解题.

例6如图7,以△ABC的BC边上一点O为圆心作⊙O,⊙O经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.

图7

(1)求证:AB是⊙O的切线;

【分析】求证圆的切线,在直线与圆有公共点时即转化为求证直角,从而产生辅助线AO;证出的直角又为求解(2)中的sinB提供了条件,(2)中突破点为“点D为CE的下半圆弧的中点”,从而产生Rt△DOF.

证明:(1)连接OA,OD.

∵点D为CE的下半圆弧的中点,

∴OD⊥BC,∴∠EOD=90°,

∵AB=BF,OA=OD,

∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,

而∠BFA=∠OFD,

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠OFD=90°,

即∠OAB=90°,∴OA⊥AB,

∴AB是⊙O切线.

解:(2)OF=CF-OC=4-r,OD=r,DF=,

在Rt△DOF中,OD2+OF2=DF2,

解得r1=3,r2=1(舍去),∴半径r=3,

∴ OA=3,OF=CF-OC=4-3=1,BO=BF+FO=AB+1.

在Rt△AOB中,AB2+OA2=OB2,

∴AB2+32=(AB+1)2,

【点评】求证切线时,我们要判断这条直线与圆有无公共点,有公共点时,我们“找半径,证垂直”,无公共点时,我们“作垂直,证半径”.要学会运用切线产生的直角三角形进行综合解题.

知识点四:内切圆与外接圆

例7在△ABC中,∠A=50°,

(1)若点O是△ABC的外心,则∠BOC=__.

(2)若点O是△ABC的内心,则∠BOC=__.

【分析】从定义入手,我们可以得到,外心是三角形三边垂直平分线的交点,进而根据圆周角定理求解;而内心是三角形三个内角角平分线的交点,从而根据角平分线及三角形内角和定理综合解题.

解:(1)∵点O是△ABC的外心,

∴∠BOC=2∠A=100°.

图8

(2)∵△ABC中,∠A=50°.

∴∠BOC=180°-65°=115°.

【点评】此题考查了内心、外心两个基本定义,我们要根据题意画出符合题意的草图,抓住定义,综合运用圆周角、三角形内角和等知识解题.

例8如图10,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.

图9

∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,

∵点O是△ABC的内心,

∴OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB,

图10

(1)求证:BE=CE;

(2)若∠A=90°,AB=AC=2,求⊙O的半径.

【分析】(1)根据条件“⊙O是△ABC的内切圆”,我们可以利用切线长定理,证得BE=CE;(2)若∠A=90°,再加上切线产生的两个直角,我们可以证得四边形ODAF是矩形,进一步证得四边形ODAF是正方形,从而求解.

证明:(1)∵⊙O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,见图11.

图11

∴AD=AF,BD=BE,CE=CF,

∵AB=AC,∴AB-AD=AC-AF,

即BD=CF,∴BE=CE.

解:(2)连接OD,OF.

∵⊙O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,

∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°,

∴四边形ODAF是矩形,

又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形.

设OD=AD=AF=r,则BE=BD=CF=CE=2-r.

在△ABC中,∠A=90°,

又∵BC=BE+CE,

【点评】在出现内切圆条件时,我们既可以直接使用切线的性质,又可以组合两条切线,使用切线长定理,还可以使用内心等结论,因此,要根据题目要求灵活运用.

例9图12是一块△ABC余料,已知AB=20cm,BC=7cm,AC=15cm,现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是_________.

图12

【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大.设内切圆半径为r,则该三角形面积可表示为:·r·(AB+BC+AC)=21r.若作BC边上的高AD,三角形的面积公式可表示为·BC·AD,利用勾股定理可得AD,易得三角形ABC的面积,从而可得r,求得圆的面积.

解:如图13所示,

图13

图14

过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,如图 14,设 CD=x,在Rt△ABD中,由勾股定理得:

AD2=AB2-BD2=400-(7+x)2,

在Rt△ACD中,AD2=AC2-x2=225-x2,

∴400-(7+x)2=225-x2,

解得:x=9,∴AD=12,

∴21r=42,∴r=2.

∴该圆的最大面积为:

S=πr2=π·22=4π(cm2).

【点评】本题中我们把内切圆与面积进行结合,通过内切圆构造出3个垂直,进一步构造高线,用面积法列出了基本算式.用面积来求内切圆半径也是一个基本方法.

知识点五:弧长与扇形面积

例10 现有一张圆心角为108°,半径为40cm的扇形纸片,小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后,将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),则剪去的扇形纸片的圆心角θ为

图15

【分析】已知圆锥形纸帽底面半径是10cm,则展开图扇形的弧长是20πcm.根据弧长公式l=nπr÷180,就可以知道剪后的扇形圆心角度数,从而求出θ.

解得:n=90°.

∵原始扇形彩纸片的圆心角是108°,

∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°-90°=18°.故答案为:18°.

【点评】本题综合考查扇形和圆锥的相关计算.解题思路:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系进行记忆是解题的关键.

例11如图,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置……以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( ).

图16

A.2015π B.3019.5π

C.3018π D.3024π

【分析】首先求得每一次转动的路线的长,发现每4次一循环,找到规律然后计算即可.

解:转动一次,A的路线长是:2π;转动第二次,A的路线长是:转动第三次,A的路线长是:;转动第四次,A的路线长是:0;转动第五次,A的路线长是:

以此类推,每4次一循环,故顶点A转动4次经过的路线长为:4=503余3,顶点A转动2015次经过的路线长为:6π×504=3024π.故选:D.

【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和探索规律问题.第一步,列举出前面若干次的计算结果;第二步,寻找出循环的周期或前n次呈现的规律;第三步,归纳,根据周期或规律寻找题目答案.其中,发现规律是解决问题的关键.

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