微积分在经济学中的应用

刘付民

摘 要：微积分学在数学和其他学科里有着及其广泛的用处，尤其是在经济学中。运用微积分知识解决经济学问题显得十分便捷，并且微积分模型在经济学问题的研究中有着越来越大的发展空间。本文介绍了微积分学在经济问题中的应用，并分别举例说明，具体阐述微积分学在经济学中的应用，以便于更好地解决实际问题。

关键词：微积分 经济问题 弹性供给

引言

数学是一科重要而且极为基础的学科，把数学的研究思想引入到经济学里，为经济学的研究提供了简便与适用的方法，由计数、计算对事物变化的观察中产生。随着数学这个学科的发展，数学已经逐步的深入到各个领域。在经济学和金融学等学科中，数学更是发挥了及其重要的作用[1]。用数学理论研究宏观经济学、微观经济学，用数学模型进行风险预测与分析，已经越来越普遍。随着近现代微积分理论的发展，经济学也在经历着飞速的变化，微积分是由于生产技术的进步、经济社会的发展而产生的。特别是随着计算机的广泛应用，建立微积分模型来解决经济学问题，成为了实现高效决策和精确决策的重要途径。微积分等数学知的运用是在经济学问题的研究中努力的方向和目标。

一、导数在弹性供给问题分析

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为《九间算术》作注时提出了 “割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。需求价格弹性指的是某商品的需求量对其价格变动的反应程度。它可以用价格系数来表示[2]。本小节主要分析供给弹性问题，其中导数对供给弹性问题的影响。所谓供给弹性，表示一定时期的一种商品的供给量的相对变动对于该商品的价格的相对变动的反应程度[3]。其中，供给弹性是用来表示商品供给量的变动率对于价格的变动率的反应程度的。若供给函数为，则供给价格弹性记做，定义为

影响产品供给弹性的因素有很多，例如当增加产品所需消耗的生产要素费用过大时，该产品的弹性系数较小，反之则较大。此外，生产产品的时间长短也是影响产品供给弹性的因素之一，若短时期内厂商只能在固定的厂房设备下增加产量，此时供给量变化有限，则该产品弹性较小，反之较大。

二、微积分学在实际问题中的应用

1.成本控制问题应用

设已知某厂的边际成本函数，假设该产品产量为2时，平均成本为30，试求：

（1）平均成本函数；

（2）总成本函数；

（3）产量为多少时，平均成本最低。

解：由于平均成本是边际成本的原函数，所以对边际平均成本函数积分便可以得到平均成本函数，因此有

（1） 已知边际成本函数，求总成本函数。

设用函数表示边际成本函数，表示平均成本，为产量，为总成本，则

积分学在经济学中的应用十分普遍且起到重要作用，尤其是在已知边际函数求原函数的问题中。利用一元函数积分学可以方便快捷的求出原函数，使得经济问题的求解方法更加多样化。同时，也使数学领域中一元函数积分学的运用范围更加广阔。

2.分期付款问题应用

王明是一名大一的学生，他想兼职并且利用分期付款的方式买一部手机，他了解到：某手机店对他想买的那种型号的手机进行付款销售。手机的销售定价是4000人民币。分期购买时，分期36月，月还款额为150元。银行贷款信息为，低于5000的贷款，年利率为15%（36月内）。试问，该选择银行贷款，还是分期付款？

解：

如果贷款，三年还清，那么王明每月要还款

I=P （r（1+r）^N）/（（1+r）^N-1）=4000×（0.05/12×〖1.0125〗^36）/（〖1.0125〗^36-1）≈138.66（元）

这里r=（（0.15）） D12=0.125为月利率。计算结果表明，王明应该以贷款（每月还款139元）而不是分期付款（每月还款150元）的方式来购得他想买的该型号的手机。

3.利润最大化问题应用

某种产品生产件的边际成本为元，固定成本2000元，又知每件产品的零售价为50元，试求产量为多少时利润最大？最大利润值是多少？

解 因为变上限的定积分就是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是总成本函数的变化率在上的定积分，又知固定成本为2000元，所以根据（2.1）有总成本函数

即产量为125时可获得的最大利润为2062.5元。

从以上例子中可以看出，利用定积分研究经济函数，有助于实现利润的最大化。

结语

本文介绍了微积分学知识在经济学中的应用。利用微积分学知识可以对许多经济学问题进行定量的分析，解决实际经济问题，便于做出选择和判断。

参考文献

[1]沈奇.微积分及其在经济学中的应用[J].赤峰学院學报（自然科学版），2014，（24）：6-7.

[2]苏永刚.微积分在经济学中的运用研究[J].数学学习与研究，2012，（19）：107.

[3]郜欣春，贾仙勤，微分学在微观经济学中的几处应用[J]，科技经济市场，2011，（4）：13-14.