刻度平方误差损失下指数分布产品寿命绩效指标的Bayes可靠性分析

刘婉贞

摘 要：本文的目的是研究产品寿命服从指数分布时寿命绩效指标的Bayes估计问题。在伽玛先验分布和刻度平方误差损失函数下得到了寿命绩效指标的Bayes估计， 并通过蒙特卡洛统计模拟试验对各类估计结果的优良性进行比较。

关键词：寿命绩效指标；Bayes估计；刻度平方误差损失函数

中图分类号：TB114.2 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）17-0233-02

1 引言

在实践中，对产品质量绩效进行有效的管理和评价是现代企业的重要工作，过程能力分析是衡量企业绩效的重要手段。过程能力指数是检测产品质量和监控产品生产过程的一个简单而有效的指标，到目前为止已经有很多个过程能力指数相继被提出，其中最出名的是如下几个过程能力指数。这四个指数是评估产品品质特性具有望目型的指标，不适用产品寿命越长越好的特性，为此，文献[1]提出了寿命绩效指标来反映产品寿命越长产品质量特性。近年来，针对的统计推断研究得到很大的关注，如文献[2]针对指数分布产品，基于熵损失讨论了的Bayes估计和假设检验问题；文献[3]当产品寿命具有单参数指数分布时，基于逐步I型删失样本，得到了极大似然估计。文献[4]研究了逐步递增的II型截尾样本下极值分布寿命绩效指标的极大似然估计和Bayes估计。近几年，很多学者研究基于刻度平方误差损失函数的可靠性模型参数的Bayes统计推断问题[5-7]。

本文将基于参数的先验分布为共轭伽玛先验分布，在刻度平方误差损失函数下研究指数分布产品寿命绩效指标的Bayes估计和E-Bayes估计问题。

2 预备知识

设某电子产品的寿命服从参数的指数分布，即相应的概率密度函数为：

（1）

由于大部分电子产品都是望大型，即满足寿命越长质量越好的特性，关于此类产品绩效评价问题，Montgomery[1]提出寿命绩效指标：

（2）

来衡量此类产品性能的优劣，式中为规格下界，为产品寿命均值，为产品寿命标准差。

根据式（2），易计算指数分布寿命绩效指标：

（3）

和失效率函数：

（4）

由于产品的平均寿命，且根据（3）和（4）式知可以较好地反映产品寿命的情况。

下面给出产品合格率的定义：

设产品的寿命为，是寿命的规格下限，即当时，认为该产品为合格品。则产品的合格率定义如下：

（5）

对于寿命服从指数分布的产品，合格率为：

（6）

由（6）式知合格率与寿命绩效指标一一对应，于是只要知道的值，便可計算出产品的合格率的值。但要准确的估计常需要较大样本，这在实际中通常做不到。而Bayes方法可以在较小的样本下也可以较准确估计的值进而计算出产品的合格率的值。为此本文将在刻度平方误差损失函数下研究指数分布产品寿命绩效的Bayes估计和E-Bayes估计问题。

3 寿命绩效指标的Bayes和E-Bayes估计

本文将在如下刻度平方误差损失函数：

（7）

下讨论指数分布产品寿命绩效指标的Bayes和E-Bayes估计问题，这里为非负整数。在刻度平方误差损失函数（6）下，参数的唯一的Bayes估计为[5]：

（8）

设总体寿命服从指数分布（1），为样本。为样本观察值，，。则给定样本观察值后参数的似然函数为：

（9）

本文假设的先验分布为伽玛分布，即概率密度函数为：

（10）

其中为超参数。

定理1在（9）和（10）的假设和刻度平方误差损失（7）下，的Bayes估计为：

（11）

证明：由Bayes定理，参数的后验概率密度函数为：

于是：

于是在刻度平方误差损失函数（7）下，参数的Bayes估计为：

从而指数分布产品寿命绩效指标的Bayes估计为：

4 数值模拟例子和结论

利用蒙特卡洛模拟生成参数的指数分布（1）的容量为的样本，n=10，25，50，75，重复试验N=2000次，用作为的估计值，均方误差评价估计的好坏，其中为第i次试验时参数（）的估计值.估计结果见表1，其中均方误差在括号内，，。

由表1知，随n的增大，各个参数的估计值的均方误差都在减小，估计值也越来越接近真值；Bayes估计在n较小时受超参数影响较大，但随样本量的变大对估计值的影响变小。

参考文献

[1]Montgomery， D. C. Introduction to Statistical Quality Control[M]， New York： John Wiley & Sons，1985.

[2]廖莉，张长青.熵损失函数下指数分布产品寿命绩效指标的Bayes统计推断[J].南昌大学学报（理科版），2016，40（5）：421-425.

[3]Wu S. F.， Lin Y. P. Computational testing algorithmic procedure of assessment for lifetime performance index of products with one-parameter exponential distribution under progressive type I interval censoring[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2017，311（C）：364-374.

[4]El-Sagheer R M. Assessing the Lifetime Performance Index of Extreme Value Model Based on Progressive Type II Censored Samples[J].Mathematical Sciences Letters，2017，6（3）：1-14.

[5]宋立新，陈永胜，许俊美.刻度平方误差损失下Poisson分布参数的Bayes估计[J].兰州理工大学学报，2008，34（5）：152-154.

[6]何道江，尤游.刻度指数族参数的经验Bayes估计及收敛速度[J].数学杂志，2014，34（2）：367-373.

[7]童恩涛，范国良.PA样本下刻度指数族参数的渐近最优的EB估计[J].安徽工程大学学报，2015，（1）：90-94.