例谈对数学归纳法局限性的认识误区

朱 荣

（甘肃省康乐一中，甘肃 临夏州）

数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种重要方法，在各级各类考试中有广泛应用。使用数学归纳法证题必须要有两个步骤，一是作为归纳的基础，二是归纳递推，即对某些与正整数有关的命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：①当n取第一个值n0时，命题成立；②假设当n=k（k∈N*且k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立，这种方法叫做数学归纳法。用数学归纳法证明一个命题的基本结构是“两个步骤，一个结论”。这种方法粗看起来好像是一种万能的，只要是与正整数有关的命题都能证明，但实际操作起来并非易事，学生经常犯以下错误，有的不重视第一步的验证，有的对n的第一个值不仔细研究误认为是1；有的只是形式上用数学归纳法进行了照葫芦画瓢式的书写，其实由于没有使用归纳假设或根本不会变形使用归纳假设，而绕开最关键的步骤，致使形式上好像进行了证明，其实并没有证明，造成错误，因此，证明时①和②这两个步骤缺一不可，步骤①是步骤②的基础，步骤②是递推的依据。关键是第二步：怎样由假设n=k成立，推证出n=k+1时，命题成立，以及如何根据题目条件，再创造条件，巧妙使用归纳假设是证明的难点。

数学归纳法虽然自有其局限性，但学生往往由于对以上情况的理解不透，把握不准，功力不够，使用不当，在应用数学归纳法时常常感觉数学归纳法好像很容易但又常常出错，有时又觉得对有些与正整数有关的题目数学归纳法是失效的，而陷入迷茫，甚至感到走入绝境而不知所措的误区，致使对数学归纳法本身产生怀疑。现笔者用例题加以说明，供同行参考，愿与同行探究.

一、使用不当

例1用数学归纳法证明

思考 显然当n=1时有1＜2，命题成立

当n=1时有1＜2，命题成立

那么，当n=k+1时，有

命题成立，由数学归纳法得，原命题成立。

显然，造成学生认为该题不能用数学归纳法的原因是，功力不够，对数学归纳法使用不当。

二、设计加强命题

例2 用数学归纳法证明

思考 显然，当n=1时，有1＜2，命题成立

则当n=k+1时

当n=1时，命题显然成立

则当n=k+1时,有