齐次化方法解题举例

宁夏彭阳县第四中学 (756599)

李艳玲

齐次化就是利用问题所给定的条件将一个整式的各项化为齐次式或将一个分式的分子、分母化成相同的次数.齐次化的方法在证明不等式、代数式求值及解析几何中都有广泛的应用，下面举几例予以展示.

例1 已知f(x)=lnx-x，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，证明：x1+x2>2.

例2 已知正实数x、y满足x3+2y3=x-y，求使得x2+ky2≤1恒成立的k的取值范围.

分析:式子x2+ky2≤1的左右两边不是关于x,y的齐次式，我们可以利用条件x3+2y3=x-y将不等式左右两边齐次化.

分析:题目涉及到的字母较多，不易入手，但从已知条件的结构出发，我们可以考虑用齐次化的方法求解.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，证明直线l过定点.(2017年全国高考理卷Ⅰ第20题)

评析:本题的第(2)问,如果采用其它方法求解，计算量大、费时费力、比较烦琐，但用齐次化的方法求解步骤简短，思路清晰，解答过程干脆利落.

评析:本题的解法很多，相比之下构造齐次化的方法尤为简单，因而在解析几何中，涉及到已知曲线上点的斜率之积或斜率之和等问题时，我们可以考虑用齐次化的方法进行简解.