数学排队论模型在儿科门诊中的应用

孙玲玲

（贵州医科大学生物与工程学院，贵阳550001）

1 引言

随着二孩政策的实行，儿科门诊量不断攀升，公立儿童医院人满为患，这对医患双方都不利，因此门诊排队问题受到越来越多国内外学者的重视[1]。1952年，Lindley就使用排队模型讨论了门诊患者的等待时间问题[2]；Peng Y等采用开放式预约调度方法对门诊排队进行研究[3]；侯玉梅等，曹萍萍等[4-5]针对医院门诊预约容量安排问题进行深入研究，给出了一种门诊最优预约容量分配方法。

综上所述，国内外学者对于门诊排队、容量问题开展了广泛的研究，然而针对我国患者众多的儿科门诊，预约排队问题仍需进一步研究。本文主要应用排队论模型对儿科门诊排队现象的各项指标进行量化分析，通过算例分析，得出预约排队能最大限度地节省排队时间，而对现场挂号排队，需相应地增加门诊数量以减少排队时间。

2 儿科门诊就医行为分析

儿科门诊排队现象分为两种，一种是网上预约排队，另一种是现场挂号排队。基于网上预约，患者可根据自己的预约时间到候诊室等待就诊，因为患者已经预约好就诊医生，且每天预约患者的数量有限，故该排队模型是单服务台混合制排队模型，即,当系统叫号时，若患者已经到达门诊，则是先预约先服务；若系统叫号时，患者未到达门诊，则是先到先服务；基于现场挂号排队，由于儿科门诊有多个诊室，即多个服务台的情形，患者可自行挂号，当某位医生号满时，患者通常会选择另外的医生挂号就诊，直到医生号满为止。此时的排队模型属于多服务台混合制排队模型，即当系统到达平稳状态时，假设患者到达门诊的时间服从参数为的泊松分布，患者接受就医服务时间服从参数为的负指数分布，但两种情形下不同。网上预约排队的患者会根据自己的预约时间分别到达门诊，而现场预约的患者会尽可能早地到达现场进行挂号，因此前者的到达率要小于后者。

3 儿科门诊医生配置的排队模型建立

3.1 排队论的基本原理

排队论是通过对服务对象到达时间和服务时间的统计分析，得出等待时间、排队长度、服务强度等统计指标。据此改进服务系统的结构，使得服务系统既可以满足服务对象的需求，又能使服务系统的配置最优。

3.2 儿科就医服务系统指标的量化及求解

基于M/M/1/k混合制排队模型，由儿科就医行为的分析结果，可得就医服务系统的平衡方程为：

μn=μ，n=1，2，3，…，K

由文献[6]中(10.5)式，(10.6)和(10.7)式有

故患者损失率 pn=ρnp0n=1，2，3，…，K

由单服务台混合制排队系统平稳状态下队长的分布可知，当ρ≠1时，平均队长为

由于排队系统的容量有限，只有K-1个排队位置，因此，当系统空间被占满时，再来的顾客将不能进入系统排队，已知患者的到达率为λ，则当系统处于状态K时，患者不能进入系统，故顾客可进入系统的实际概率是1-pK，所以单位时间内实际可进入系统的顾客平均数即有效到达率为：λe=λ（1-pK）=μ（1-p0），其中pK称为顾客损失率，即来到门诊的所有顾客数中不能进入系统的顾客的比例。由Little公式有平均逗留时间

若患者直接到门诊挂号就诊，此时假设门诊坐诊医生有s人，当某一位医生号满时，患者会通常会选择另外的医生挂号就诊，直到医生号满为止。此时的排队模型属于多服务台混合制排队模型，即M/M/s/K，即顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布，服务台个数为s，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布，系统空间为K。此时有

由文献[6]中(10.44)式，(10.45)及(10.46)式可求得多服务台混合制排队模型下的平均队长，平均排队长及平均等待时间及平均逗留时间。

4 算例分析

假设患者在网上预约就诊后，通常按照预约时间到达门诊，假设某天某位医生的门诊预约量是30人，设患者按poission流到达门诊，平均每6min有一个患者到达，就医时间服从负指数分布，平均每min服务一个患者，则该系统的有关指标如下。

这是 一个M/M/1/K排队模型，其中K=30，λ=1/6，μ=1/6，ρ=λ/μ=1，

患者损失率为p30=ρ30p0=p0=1

有效到达率 λe=λ（1-p30）=0.97

若患者直接到门诊挂号就诊，此时假设门诊坐诊医生有3人，每位医生每天限挂号30人，当某一位医生号满时，患者通常会选择其他的医生挂号就诊，直到医生号满为止。此时的排队模型属于多服务台混合制排队模型，即M/M/s/K，其中s=2，K=30，设每分钟有2位患者到达门诊，每位医生的平均服务时间为 6min，即此时系统的各项指标如下，

由于顾客每分钟的到达率大于医生的服务率，即服务系统没有空闲时间，一直处于工作状态。顾客损失率p30=

儿科门诊内等待的平均人数即平均排队长

平均队长 L=Lq+ρ（1-p30）=23.75

综上是在普通情况下，儿科门诊出现的排队现象，如果遇上流感高发区，患者数目剧增，此时需相应地增加门诊数量，解决广大老百姓的看病难问题。

5 结语

比较以上两种排队现象的结果，网上预约排队大大地节省了儿科门诊患者的排队时间，而现场排队若要达到相同的效果，需要相应地增加门诊数量以减少患者的排队时间，但这样医院势必会增加投资并且有时还会造成设施空闲的浪费。因此顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小就构成了随机服务系统所需要解决的问题，所以，在信息化时代的今天，打破传统的现场挂号方式，大力提倡网上预约排队比较理想。