解题手记

2018-11-19 08:57王豪豪
新高考·高二数学 2018年6期
关键词:草稿纸平分线斜率

王豪豪

翻开试卷,我偶然间发现自己还有些题目未完成.于是,目光落在了一道空着的大题上:

题1 在△ABC中,BC边上的高所在直线方程为:x-2y+l=0,角A的平分线所在直线方程为:y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和C的坐标.

读完题,心中并未翻起任何波澜.虽然每一个条件都能读懂,知道那些条件是什么,但这些与所求的“A和C的坐标”义有什么关系呢?

虽然根据这些条件我可以在脑海中画出一张图,但这张图中的每个元素之间似乎是没有什么关联的,像是路边互不相识的陌生人.

——不行!我得给他们拉个线,让它们相互认识认识.于是我把脑海里的这张图画到草稿纸上,希望能在图中找出它们的关联.

然而,图1中连三角形的影子都没有!

正难则反.既然从条件弄不出什么名堂,那就只能从结论人手试试看.

我不管条件中的具体方程和坐标,把△ABC和BC边上的高、角A的平分线等元素画在另一张草稿纸上,如图2.

将两张图对照着看,突然眼前一亮:A点不就是两条已知直线的交点吗!于是很轻松地联立方程x-2y+l=0和y=O,解出A点的坐标为(-1,0)

接下来,研究怎么求C点的坐标.从图2可以看出,C点应该是直线BC与AC的交点,那么这两条直线的方程能不能求出来呢?

对于直线BC,现在已知的是直线上B点的坐标,只要再有一个斜率,就可以用点斜式将直线BC求出来了,可斜率从哪里求呢?一时没思路,于是我只能开始一遍遍地读题目,面出题干中的关键词.一边读题一边看两张草图.

突然,脑海里闪现出了三个相关的东西:

高→垂直→斜率成负倒数

思路至此打通:我可以作直线AH垂直于直线BC,因为直线AH垂直于直线BC,且AH的直线方程为:x-2y+l=0,所以由是k AH=1/2可以算出kBC=-2.义因为B点坐标已知,所以结合点斜式方程,可以求出BC直线的点斜式方程为y-2=2(x-1),将其整理得到了BC直线的一般式方程为2x+y-4=0.

但这还没完,只求出了一半.还得求出直线AC的方程才能解出C点的坐标.然而,直线AC也只已知它上面的一个点A,不知道斜率,也不再有垂直——思路再次戛然而止,脑海中反复回荡着这几个问题:接下来我该怎么做呢,那个“角A的平分线”和直线方程有什么联系呢,我应该怎么求出C点坐标呢?笔尖不断摩擦着草稿纸,思路仿佛被困在了笔尖所画的圆圈里,难以挣脱出来.我愣在那,呆呆地看着白己画的一个义一个的圈,不一会儿,我突然回过神,连忙将草稿纸翻了过去,将白己的思路重新整理在了那张崭新的草稿纸上,并且画了一幅更加清晰准确的草图,可大脑却依旧混乱,不知该怎么求出点C的坐标.我叹了口气,手很自然地挠了挠头,视线不经意落在了“角A的平分线所在直线方程为:y=0”这个条件上片刻,义无奈地移开……

既然在这里百思不得其解,那也只好暂且放一下,把其他题做完再说吧!我转到了另一道填空题上:

题2 直线3x-4y-5=0关于y轴对称的直线方程为___.

看了这道题,我笑了笑,想到,这题太简单了,不就是把x换成-x么.几乎不用打草稿我就写下了答案.

這时我的心情比刚才好多了,但,当我再次回到了刚才那道还没解出的题上,又沮丧了起来.

“沮丧!你不是我的朋友,请你马上离开我!”我的内心在呼喊着.

这时我想起了老师说过的一句话,“不会做难题,是因为没有把容易题玩透”.

于是我想:让我再好好玩玩这道给我带来好心情的题目吧!随即,题2的图便被我画在了草稿纸上:

看到这,自己突然愣了一下!

y轴不就是两条直线(已知直线和所求直线)的角平分线吗?!

之前那个“角A的平分线所在直线方程为:y=0”不就是间接地说明直线AB与直线AC关于x轴对称么?

我马上回到之前那道题,利用角平分线y=0恰好为x轴这个特殊性,根据直线AC和直线AB关于x轴对称,轻松求出 AC的直线方程.

做完这道题,回头再看看过程,我对这道题真的是爱不释手.如果不写下这段解题过程与同学分享,实在对不起这道题.

原来数学可以这么巧妙!

点评 对印象比较深的一道题的解答过程做一个细致的回顾和记录,这不但可以从一道题中学到更多东西,而且也锻炼了数学语言的表达能力.如果能再归纳总结几点对以后解题的启示就更好了.

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