时间尺度上相空间中力学系统的Mei对称性及守恒量

2018-11-21 03:32朱建青
关键词:相空间变分时间尺度

孙 晨,朱建青

(苏州科技大学 数理学院,江苏 苏州215009)

时间尺度理论[1]是Hilger于1988年提出的,它的主要思想在于把连续和离散统一起来分析,已在工程、经济等领域得到应用[2-4]。在2004年Martin Bohner[5]研究时间尺度上的变分原理后,这一理论迅速发展。随后,Torres[6-7]等人将时间尺度与动力学系统相结合,给出了时间尺度上完整系统的Noether定理。在此基础上,蔡平平[8]、张毅[9]、祖启航[10]、施玉飞[11]等人分别研究了时间尺度上非保守非完整系统的Noether理论、Hamilton系统中的Noether理论、非完整力学系统的Noether对称性和守恒量以及Birkhoff系统中的Noether理论。自此关于时间尺度上动力学系统的对称性和守恒量的研究开始起步。Mei对称性是梅凤翔[12]教授于2000年提出的一种不同于Noether对称性和Lie对称性的新型对称性,随后方建会[13-14]研究了相空间力学系统的Mei对称性、Lie-Mei对称性,张毅[15-17]研究了相空间中约束力学系统的对称性。目前关于Mei对称性的研究已取得一些成果[18-25]。笔者应用时间尺度理论研究时间尺度上相空间中的Mei对称性及守恒量,给出了该系统的Mei对称性的定义,得到了其确定方程和守恒量,并举例说明结果的应用。

1 时间尺度上相空间中力学系统的运动微分方程

设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,…,n)来确定,时间尺度上一般完整系统在广义坐标下的方程可写为[7]

其中 L=L(t,qsσ,qsΔ)为 Lagrange 函数,Qs=Qs(t,qsσ,qsΔ)为非势广义力。

时间尺度上广义动量和Hamilton函数为

对(3)式进行变分运算并考虑(2)式,有

另一方面

对(5)式进行变分运算,有

比较(4)式和(6)式,并考虑(1)式有

因此,时间尺度上相空间中力学系统的运动方程为

2 时间尺度上相空间中力学系统的Mei对称性及确定方程

首先,引进无限小变换[9]

在无限小变换(9)下,H=H(t,qsσ,ps)和 Qs=Qs(t,qsσ,ps)变成 H*=H(t*,(qs*)σ,ps*)和 Qs*=Qs(t*,(qs*)σ,ps*)。

定义1在无限小变换(9)下,如果变换后的函数H*,Qs*仍满足原方程,即

则称这种不变性为系统的Mei对称性。

定理 1对于系统(8),若无限小变换的生成元 ξ0,ξs,ηs满足

则系统(8)具有Mei对称性,其中

方程(11)称为时间尺度上相空间中力学系统(8)的Mei对称性的确定方程。

证明展开 H*和 Qs*,有

将(13)式代入方程(10)有

利用(8)式可得到

将(13)、(14)式代入方程(10)有

利用(8)式可得到

于是得到定理1。证毕。

3 时间尺度上相空间中力学系统的Mei对称性导致的守恒量

定理 2在无限小变换(9)下,如果系统(8)具有 Mei对称性且存在规范函数 GN=GN(t,qσ,p)满足条件

则系统有守恒量

证毕。

推论 1如果时间尺度 T=R,则 σ(t)=t,μ(t)=0 于是可由(19)式得出经典结构方程

则得到经典的相空间中力学系统的守恒量[13]

4 算例

例1设时间尺度为

系统的Lagrange函数为

试研究系统的Mei对称性。

系统的广义动量和Hamilton函数为

由时间尺度(24)可得时间尺度的前跳算子σ(t)以及步差函数μ(t)

由(8)式可得

通过确定方程(11)给出

方程(31)有解

将(32)式代入结构方程(19)中得

由(20)式可得系统的守恒量

例2设时间尺度为

系统的Lagrange函数为

试研究系统Mei对称性。

系统广义动量和Hamilton函数为

由时间尺度(36)得时间尺度的前跳算子σ(t)以及步差函数μ(t)

由(8)式可得

通过确定方程(11)给出

方程(43)有解

将(44)式代入结构方程(19)中得

由(20)式可得系统守恒量

5 结语

笔者研究了时间尺度上相空间中力学系统的Mei对称性与守恒量问题。主要工作有:建立了时间尺度上相空间中的运动微分方程;给出了系统下Mei对称性的定义和判据,得到了该系统Mei对称性导致的守恒量;并指出了当时间尺度T=R时Mei对称性导致的经典守恒量的表达形式。这种统一讨论连续与离散系统Mei对称性及守恒量的方法,也可望适用于Birkhoff系统、非完整约束力学系统等约束力学系统的讨论。

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