工程车辆车桥位移谱统计分布建模及分步参数识别

刘巧斌，史文库，陈志勇，商国旭



工程车辆车桥位移谱统计分布建模及分步参数识别

刘巧斌，史文库，陈志勇※，商国旭

（吉林大学汽车工程学院，汽车仿真与控制国家重点实验室，长春 130022）

针对非公路用车的车桥实测位移谱统计分布建模中模型选择、参数识别的初值选取主观性大和计算效率低等难题，该文以实测的车桥位移信号为研究对象，分别进行时域分析、频域功率谱分析，对信号进行分组，统计频数，获得统计直方图和累计概率分布曲线。分别采用正态分布、双峰正态分布、威布尔分布和双峰威布尔分布模型对位移谱进行建模，提出分步参数识别方法。引入灰色关联度目标函数，以人工鱼群算法获得的参数作为模型参数的初始值，采用迭代非线性最小二乘法levenberg-marquardt（LM）算法进行精确参数识别，使用相关系数和kolmogorov-smirnov（KS）检验对各模型的拟合优度进行比较。结果表明，混合威布尔分布与统计直方图的相关系数为（0.9800,0.9908,0.9867,0.9665），混合正态分布为（0.9793,0.9904,0.9783,0.9661），威布尔模型为（0.8613,0.9113, 0.8618,0.8854），正态模型为（0.8611,0.9127,0.8624,0.8869），混合威布尔模型可以对车桥位移谱进行高精度拟合，而所提出的分步参数识别法可以高效、准确地进行模型的参数识别。研究结果可为车辆疲劳载荷谱的编制和台架试验提供参考。

模型; 参数识别；车桥位移谱；灰色关联；非线性最小二乘法；混合威布尔模型

0 引 言

非公路用车的车桥位移谱统计分布研究是进一步进行载荷谱编制和疲劳可靠性台架试验的基础。正态分布和威布尔分布是在可靠性工程中应用较为广泛的2种概率统计分布模型[1-4]。一般单独的正态分布或威布尔分布并不完全适用于所有的可靠性数据建模，而混合模型通过将实际分布分解为2个或2个以上的独立分布，采用加权叠加的思想去逼近实际分布，具有很强的实际应用价值，受到了越来越多学者的重视。混合分布模型的引入带来了诸多挑战，而模型参数识别难度的增加是其中最为主要的一项，寻找简单、高效而精确的混合分布模型参数识别方法已经成为可靠性研究领域的一个焦点。

传统的可靠性模型参数识别方法有图解法、非线性最小二乘法、最大似然估计法和贝叶斯估计法等[5-12]。这些算法存在的主要弊端有：①计算效率有待提高，传统算法大多依赖迭代求解，为提高参数辨识精度，一定程度上牺牲了计算效率，增加了参数辨识的时间成本。②参数识别优化目标的选取不当，现有研究，多数将参数识别的目标函数定义为模型与实测数据的平方和，这样不可避免地忽略了样本点和仿真点之间横坐标的仿真误差，而只考虑了纵坐标的仿真误差。③参数识别的经验依赖度高，参数识别的初始值对结果影响大。

智能算法在多维非线性、初始值不易确定的模型的参数识别问题上展现出了巨大的潜力，许多学者采用智能优化算法对模型参数识别问题进行了大量的研究[13-27]。智能算法应用于参数识别存在的问题是，不同的智能算法对解决同一问题的效率和适用性不尽相同，有必要针对具体问题选取一种最适合的智能算法或针对问题对算法进行改进，保证算法在具有较高精度的同时提高算法效率。

针对以上问题，本文以实测矿用车辆的车桥位移谱统计分布建模及参数识别为例，提出一种新型参数识别方法，引入灰色关联度目标函数，应用了分步识别的思想，采用人工鱼群算法进行参数的初步估计，在此基础上，使用levenberg-marquardt(LM)算法进行参数的精确识别，分别建立正态分布、威布尔分布、混合正态分布和混合威布尔分布模型对实测数据拟合逼近，采用相关系数和kolmogorov-smirnov(KS)检验评价指标对各模型的拟合优度进行评价。

1 实测位移谱

为获取某矿用车辆的实际位移谱，在车辆的实际使用道路上进行车桥位移谱的采集，图1a所示是试验所用车辆和试验场地的具体情况。试验在某采矿区进行。试验车在山下装载，载货约40 t，然后运至山顶某卸料厂卸载，再空车原路返回装载处，往返距离约3 km，平均车速为10 km/h，完成1个完整的采集循环，1个周期的信号采集时间为1 200 s。试验路面为未铺装砂石路，平均坡度10%，最大坡度17%。试验中采用IMC多通道数据采集设备采集试验数据。图1b所示是车桥传感器的安装图，所使用的传感器为CELESCO拉绳式位移传感器，试验所测得的位移为轮胎与车架纵梁之间的垂向相对位移。试验时，数据采集频率为200 Hz。试验共采集5个循环的载荷数据。由于实测的试验数据存在干扰，应对其进行滤波、剔除奇异值和消除趋势项等预处理。最终选取1组稳定的数据作为后续处理的样本。

图1 试验车辆和传感器的安装

图2所示是采集到的位移信号的时间历程曲线，由图2可知，中桥、后桥上布置的4个测点的位移呈现同样的时程规律，即信号存在2个不同幅值，在200～800 s的时间内，位移幅值为200 mm左右，在900～1 150 s的时间内，位移幅值大于第一段时间内的幅值。

图2 实测位移谱时间历程

为观察位移信号的频域特性，对采集到的时域信号求自相关函数的傅里叶变换，获得功率谱密度（power spectral density，PSD），图3所示是4个位移测点获得信号的功率谱密度曲线，由图3可知，位移信号呈现低频聚集性，随着频率增加，功率谱密度减小，不存在明显的共振峰，说明路面的位移激励是宽频的随机信号。因此，为了定量分析位移信号的宏观规律，并进行高精度的可靠性仿真分析和台架试验研究，采用统计学方法对位移谱进行统计分布研究具有较大的理论意义和实际工程应用价值。

图3 位移信号的功率谱密度

2 位移谱统计分布模型

为研究位移谱统计规律，在对数据进行初步的统计直方图分析后，选取工程中常用的正态分布、威布尔分布及这2种分布对应的混合分布作为位移谱的统计分布模型，以下分别介绍正态分布、威布尔分布和混合分布的数学模型。

2.1 正态分布

正态分布的密度函数为

正态分布的分布函数为

2.2 三参数威布尔分布

三参数威布尔分布的密度函数为

三参数威布尔分布的分布函数为

2.3 混合分布

混合分布是由若干个单一分布线性加权叠加形成。混合分布的密度函数和分布函数分别如式（5）和式（6）所示。

3 参数识别方法

合理的分布模型选取是统计建模的基础，而对于确定的某一分布模型能否准确描述客观事物的规律，对分布模型的参数进行精确识别是关键所在。为进行车桥位移谱统计分布的参数识别，本文提出分步参数识别方法，在人工鱼群算法获得的粗略的参数值的基础上，进一步采用LM算法进行参数的精确识别。以下分别对人工鱼群算法和LM算法进行介绍。

3.1 人工鱼群算法

人工鱼群算法（artificial fish school algorithm, AFSA）是一种基于动物行为的群体智能优化算法。该算法通过模拟鱼类的觅食、聚群、追尾、随机等行为在搜索域内进行迭代寻优，是集群思想的一个成功应用[28-30]。

人工鱼群算法的主要行为有鱼群初始化、觅食行为、聚群行为、追尾行为和随机行为。算法主要步骤如下

本文采用人工鱼群算法进行参数的初步估计，经反复测试并参考文献资料[29]，将算法的运行参数设置如表1所示时，参数估计结果较为理想。

表1 人工鱼群算法运行参数

3.2 LM算法

Levenberg-marquardt（LM）算法是梯度优化迭代求解方法的一种。LM算法采用目标函数的二阶微分，并采用了方向矢量的方法对收敛方向进行动态调整，以此增加收敛性能，同时保证较好的收敛速度。式（13）所示为LM算法的变量迭代公式[11]。

LM算法的主要步骤如下

3.3 分步参数识别法

3.3.1 目标函数

选定一个合适的目标函数，是进行分布模型参数识别的前提。现有的参数识别目标函数绝大部分都是以模型和实测曲线的误差平方和作为优化目标，不可避免的存在只考虑纵轴方向误差而忽略横轴方向误差，一些学者提出的全最小二乘法方法一定程度上缓解了最小二乘误差计算的固有弊端[14]。本文引入灰色关联度目标函数，以实测和模型之间的灰色关联度最大化作为第一步参数识别的目标函数进行参数的初步识别。

灰色关联度分析是灰色系统理论的重要组成部分[31-32]。采用灰色关联度评价模型和实测曲线的接近程度，可以实现所辨识模型和实测曲线的宏观几何相似程度的最大化，从而在保证了参数识别结果的精确性。

灰色关联度目标函数的计算过程如下

1）求实测数据和模型计算结果的归一化序列，如式（16）。

2）求归一化后的2个数据序列之间的绝对差序列，如式（17）。

3）求绝对差序列的最值，如式（18）。

4）计算关联系数，如式（19）。

3.3.2 参数识别流程

本文所提出的分步参数识别方法流程如图4所示。

图4 分步参数识别流程

4 结果与分析

4.1 不同位移谱分布模型对比

根据统计学中直方图的分组经验，将实测位移信号从小到大分为50个区间，统计每个区间的频数和累计频数，作为位移谱统计分布实测的概率密度和分布函数值。采用本文提出的分步参数识别方法分别对4个测点获得的位移谱进行4种不同模型的参数识别，表2为各模型的参数识别结果。

图5～图8是4个测点位移谱的拟合结果，由图5～图8可知，威布尔模型的拟合效果优于正态分布模型，而混合模型的拟合效果优于单一分布模型，4种模型之中，混合威布尔模型的逼近精度最高。以中桥左侧位移谱为例，单一分布模型的概率密度误差最大值为0.013，而混合分布模型的概率密度误差为0.006；单一分布模型的累计概率误差最大值为0.091，而混合分布模型的累计概率误差最大值为0.052。可见，混合分布的拟合精度普遍大于单一分布，单一分布将数据的实际分布“均匀化”，从而抹去了数据中相对较小的峰值，而只保留了最大峰值。在2种混合分布中，混合威布尔模型拟合精度高于混合正态分布，混合正态分布的概率密度曲线和累计概率分布图都与频数统计的趋势十分的吻合。

4.2 拟合优度检验

4.2.1 相关系数

表2 4种不同模型的参数识别结果

Tabel 2 Parameter estimation results of 4 models

模型 Model中桥左侧 Left side of middle bridge中桥右侧 Right side of middle bridge后桥左侧 Left side of rear bridge后桥右侧 Right side of rear bridge 正态分布 Normal distribution 混合正态分布 Mixed normal distribution 威布尔分布 Weibull distribution 混合威布尔分布 Mixed Weibull distribution

注：为正态分布的位置参数；为正态分布的形状参数；为威布尔分布的尺度参数为威布尔分布的形状参数；为威布尔分布的位置参数；为子分布的权重比例。

Note:is the positional parameter of normal distribution;is the shape parameter of normal distribution;is the scale parameter of Weibull distribution;is the shape parameter of Weibull distribution;is the positional parameter of Weibull distribution;is the weight ratio of the sub-distributions.

图5 中桥左侧位移谱分布曲线

图6 中桥右侧位移谱分布曲线

图7 后桥左侧位移谱分布曲线

图8 后桥右侧位移谱分布曲线

4.2.2 KS检验

4.2.3 拟合优度检验结果

以上所述的相关系数和KS检验统计量分别从概率密度函数的曲线拟合效果和概率分布函数曲线的拟合效果上对拟合优度进行了检验。表3所示是各模型的拟合优度指标，从表3可知，混合分布的相关系数均在0.95以上，最大KS值不大于0.25。因此，混合分布的拟合效果优于单一分布，而威布尔分布的拟合效果优于正态分布。

表3 4种不同模型的拟合优度对比

注：为相关系数；为KS值。

Note:is the correlation coefficient andis the KS value.

4.3 混合模型的分解

为了对混合模型拟合精度高的原因及其内在组成规律进行具体分析，以中桥左侧位移谱的混合威布尔分布为例，对混合模型进行分解。图9a和图9b分别是混合模型分解出的分布密度函数曲线和累计分布概率曲线，由图9可知，混合分布实现了独立分布的加权线性叠加，曲线的形状由组成子分布共同决定，且在不同的区间内，各个子分布的影响程度不同。由图9a的分布密度函数曲线可知，在第一个子分布的峰值邻域内，第一个子分布对曲线的影响占主要地位，而在第二个子分布的峰值邻域内，第二个子分布对曲线的影响是主要的。由图9b的累计分布概率函数曲线可知，累计分布呈现2个不同的上升斜率，第一段斜率主要由第一个子分布决定，而第二段上升斜率主要由第二个子分布决定。

注：f(x)为混合概率密度；f1(x)为子分布1的概率密度；f2(x)为子分布2的概率密度；为混合累计概率；为子分布1的累计概率；为子分布2的累计概率。

本文研究的主要是双重混合分布，而对于多重混合分布，其规律可由二重混合分布推广。

5 结 论

1）所采集到的车桥位移谱呈现出双峰规律，采用混合威布尔模型可以较好的进行描述，且混合威布尔分布的各项拟合优度指标均优于正态模型、威布尔模型和混合正态模型, 混合分布的相关系数均在0.95以上，最大KS值不大于0.25；

2）以灰色关联系数作为初步参数识别的目标函数，可以保证拟合曲线和原曲线的几何相似程度最大，以全最小二乘误差作为LM算法的优化目标，解决了混合可靠性模型参数识别中目标函数的选取问题；

3）提出的分步参数识别方法，综合了人工鱼群算法这种智能优化算法和传统迭代算法的优点，以人工鱼群算法优化解作为LM算法的初始值，解决了非线性最小二乘参数识别法的初值选取困难问题。可为相关的参数识别问题提供参考。

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Statistical distribution modeling and two-step parameter identification of vehicle bridge displacement spectrum

Liu Qiaobin, Shi Wenku, Chen Zhiyong※, Shang Guoxu

(130022,)

The study of the statistical distribution is the basis for further loading spectrum and fatigue reliability platform test. Normal distribution and weibull distribution are 2 kinds of probability statistical distribution models widely used in reliability engineering. The idea of weighted superposition is used to approximate the actual distribution by so-called mixed model, and it has a strong practical application value, so it has been paid increasing attention by many scholars. The introduction of mixed distribution model brings many challenges in model parameter identification. Finding a simple, efficient and accurate mixed distribution model parameter estimation method has become a focus in the field of reliability research. The traditional reliability model parameter identification methods include graphic method, nonlinear least square method, maximum likelihood estimation and bias estimation, and so on. The main disadvantages of these algorithms are as follows: (1) The calculation efficiency needs to be improved, and the traditional algorithms mostly rely on iterative solution. Requirement to improve the accuracy of parameter estimation distinct increases the time cost. (2) The selection of parameter identification and optimization targets is improper. Most of the existing studies have defined the objective function of parameter identification as the square sum of the model and the measured data, which inevitably ignores the simulation error of the transverse coordinates between the sample points and the simulation points, that only considers the simulation error of the ordinate. (3) The empirical dependence of parameter identification is high, and the initial value of parameter identification has a great influence on the results. However, the intelligent algorithm shows great potential in the problem of parameter identification of the model with multidimensional nonlinearity and uneasy initial value. In view of this, the measured vehicle bridge displacement signal was taken as the research object in this paper, the time domain analysis and frequency domain power spectrum analysis were carried out respectively. In order to further study the statistical law of the displacement signals, the signal was grouped and the frequency was counted, the statistical histogram and the cumulative probability distribution curve were obtained. The normal distribution, mixed normal distribution, weibull distribution and mixed weibull distribution were employed respectively. A novel two-step parameter identification method was proposed, and the grey correlation degree objective function was introduced. The grey correlation coefficient objective function could ensure the maximum geometric similarity between the fitting curve and the original curve. By doing this, the inherent malpractice of the optimization process with the square sum of error as the fitness was overcome to some extent. The proposed parameter estimation method's tep was as following: Firstly, the parameters obtained by the artificial fish swarm algorithm were applied as the initial values of the model parameters. Secondly, the iterative nonlinear least square method, namely, levenberg-marquardt (LM) algorithm was used to identify the parameters accurately. Thirdly, the goodness of fit for each model were calculated by using the kolmogorov-smirnov test index and correlation coefficient. The result showed that the mixed weibull model could be used to describe the tested displacement signal best. The correlation coefficient between the mixed Weibull distribution and the statistical histogram was (0.9800, 0.9908,0.9867,0.9665), whereas, the mixed normal distribution was (0.9793,0.9904,0.9783,0.9661), the weibull model was (0.8613,0.9113,0.8618,0.8854), and the normal model was (0.8611,0.9127,0.8624,0.8869). The proposed two-step parameter identification method combined the advantages of the artificial fish swarm optimization algorithm and the traditional iterative algorithm, and used the artificial fish swarm optimization result as the initial value of the LM algorithm. It solved the problem of the difficulty in selecting the initial value of the nonlinear least square method and improved the efficiency of the parameter identification. This study can provide reference for the fatigue load spectrum and the bench test of off-road vehicles.

model; parameter identification; rehicle bridge displacement spectrum; grey relation; nonlinear least square method; mixed Weibull model

刘巧斌，史文库，陈志勇，商国旭. 工程车辆车桥位移谱统计分布建模及分步参数识别[J]. 农业工程学报，2018，34(23)：67－75. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.23.008 http://www.tcsae.org

Liu Qiaobin, Shi Wenku, Chen Zhiyong, Shang Guoxu.Statistical distribution modeling and two-step parameter identification of vehicle bridge displacement spectrum[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(23): 67－75. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.23.008 http://www.tcsae.org

2018-06-05

2018-10-27

吉林省科技发展计划项目基金（20150307034GX）；吉林省重大科技攻关项目基金（20170204063GX）

刘巧斌，博士生，主要研究方向为汽车系统动力学。Email：liuqb17@mails.jlu.edu.cn

陈志勇，副教授，主要研究方向为汽车振动噪声控制。Email：chen_zy@jlu.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2018.23.008

U463.2

A

1002-6819(2018)-23-0067-09