破解解析几何综合题的途径

罗永高

摘要：破解解析几何综合题，学生往往会遇到两个问题：1.想不到：不知道从那儿入手，想不到合理的解题方案.2.算不对：有了解题方案，但缺乏可操作性，还是得不到最后结论.教师如何打破解题途径模式化、套路化的束缚，从解决问题的思维层面去引导学生思考问题与解决问题，要让学生在解决问题的过程中去体会解析几何的基本思想，掌握研究解析几何问题的一般方法。

关键词：几何特征；代数化；代数运算

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）28-0133-03

2016年浙江省高考数学理科解析几何试题简洁优美，背景熟悉，内涵丰富.面对第二小题，许多学生不知道从那儿入手，原因是不会分析条件“任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点”的几何特征，于是就想不到合理的解题方案.还有部分学生会把两曲线的交点问题转化为联立方程求解个数，但由于没有运用补集的思想，运算比较繁琐，还是得不到最后结论.下面以此题为例，分析研究破解的途径。

范例（2016年浙江省高考理科数学题19）如图，设椭圆x2a2+y2=1（a>1）.

（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（II）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.分析：如何分析本题中几何对象的几何特征及图像之间的位置关系呢？

设点P为椭圆在y轴左侧上的任一点，令|PA|max=d.设圆方程为x2+（y-1）2=r2.

若本题关注圆与椭圆的位置关系，可得如下结论：

由上图可知，圆与椭圆至多三个交点，有四种情况.而它的……