基于频散补偿和分数阶微分的多模式兰姆波分离∗

倪龙2) 陈晓1)2)3)†

1)(南京信息工程大学,江苏省气象探测与信息处理重点实验室,南京 2 10044)

2)(南京信息工程大学电子与信息工程学院,南京 2 10044)

3)(南京信息工程大学,大气环境与装备技术协同创新中心,南京 2 10044)

由于兰姆波的多模和频散特性,实际检测时在同一激发频率下存在多种模式的混合信号,而各模式信号有不同的频散特性,使得在时频混叠的情况下兰姆波的检测变得十分复杂.本文在频散补偿的基础上,通过时延函数建模,依靠不同模式频散趋势的差异性,将时频混叠信号的分离问题转化为部分模式混叠信号的分离问题.基于分数阶微分的理论,用信号幅值谱分数阶微分极大值和对应频率分别与微分阶次拟合多项式实现特征参数的提取并依靠特征参数重建幅值谱.结合相位谱重构时域信号以实现部分混叠信号中频散补偿后的模式的分离.最后恢复频散获得分离后的兰姆波信号.仿真和实验结果表明,本文方法不仅可以实现时频混叠多模式兰姆波信号的分离,更能保证分离精度,有助于复杂多模式频散信号的分离与处理的进一步研究.

1 引 言

随着材料科学和工业技术的迅速发展,无损检测技术的应用变得更加普遍.与其他无损检测方式相比,超声兰姆波无损检测技术具有快速高效、成本低、对环境无污染等优点,被广泛地应用于工业检测中,已经在无损检测中占有重要的地位[1−3].

兰姆波具有多模式频散的特性,同一激发频率可能产生多种模式兰姆波[4,5],而不同模式的相速度随频率有不同的变化规律.频散特性表明在一定条件下存在部分模式的相速度极为接近,难以用希尔伯特-黄变换[6−8]、二维傅里叶变换[9,10]、小波脊[11,12]等方法进行分析和处理,使得多种模式混叠的信号分离成为一个十分复杂的问题.

近年来,频散补偿开始被用于兰姆波信号特性研究,并取得了一定的成果.Sicard等[13]提出了一种频域数值重建技术,实现了兰姆波频散信号的时间压缩,并将其应用在薄板回波信号的检测中.Xu等[14]将频散补偿应用在多模式分离中,将频散波形补偿回激励信号,利用时间加窗提取和恢复频散以实现各模式信号的分离.但当相邻模式有相近的相速度频散特性时,补偿后的信号仍然混叠部分其他模式信号,导致恢复的频散信号存在较大的误差,难以保证分离的精度.针对以上存在的问题,本文在频散补偿的基础上,通过时延函数建模,依靠不同模式频散趋势的差异性,将时频混叠信号的分离问题转化为部分混叠信号的分离问题;结合分数阶微分的特征参数提取,减小加窗信号各模式残留信号的影响,以实现时频混叠的多模式兰姆波混合信号的分离.

2 理论与方法

基于频散补偿和分数阶微分的多模式兰姆波分离方法主要有以下几个步骤:1)对测量得到的兰姆波信号进行频散补偿,通过加窗得到补偿模式的非频散信号和其他模式的局部混合信号;2)对该信号进行各阶分数微分提取极大值和对应频率,然后用高斯分布作为幅值谱的模型,提取该模式幅值谱的特征参数;3)结合相位谱利用傅里叶逆变换重构该模式频散补偿后的信号;4)通过恢复频散得到该模式的频散信号.重复上述步骤以实现多模式兰姆波信号的分离.

2.1 兰姆波频散传递函数与频散补偿

兰姆波模式的频散曲线表示各模式速度随频率厚度积而变化的函数曲线[15−17].传播一段距离后接收到的频散信号是激励信号经过传递函数后产生不同时延的信号.设激励信号y(t)频谱是Y(ω),根据频散特性,传播一段距离后的兰姆波信号g(t)可表示为

式中x为传播距离,cp(ω)为对应模式的相速度,j为虚数单位,t为时间,ω为角频率,π为圆周率.

由(1)式可得g(t)的频谱G(ω),

传递函数H(ω)可表示为

频散补偿实质上是频散过程的逆过程.只需对测量信号进行逆运算处理即可还原成原激励信号,即

即频散传递函数的逆函数为频散补偿函数,采用补偿函数即可将原本频散的信号变回为原激励信号.

2.2 分数阶微分

假设待处理兰姆波信号的幅值谱为P(ω),则其分数阶微分如下[18]:

其中v为微分阶数,ω为角频率,为二项式系数,h为离散步长,c为ω的初值,展开为级数.则P(ω)的分数阶微分s(v)输出为

2.3 参数估计

兰姆波的激励信号是高斯包络信号,所以其幅值谱是高斯函数,为了能提取出兰姆波信号的幅值谱,本文使用高斯函数为模型,表达式为

其中µ为高斯模型的中心频率,σ为带宽,A为幅值.

高斯函数的分数阶微分有极大值,极大值对应频率点和过零点这三种对应参数[19−22],由于多个高斯信号叠加时,过零点相对敏感,微弱噪声就会产生极大的误差,故本文通过1—2阶分数阶微分,采用极大值和极大值对应频率点与微分阶数的建立参数估计器如下:

其中Zmax(v)是v阶微分对应的极大值;a4,a3,a2,a1,a0为对应四次多项式系数;fmax(v)是v阶微分对应的极大值频率;b4,b3,b2,b1,b0为对应四次多项式系数;v为阶数[23,24].

由(9)式可以推出参数A,σ和µ的表达式:

2.4 基于频散补偿和分数阶微分的多模式分离方法

先以S1,A1两个模式混合信号为例阐明本文所述分离方法,其过程如图1所示.S1和A1的频散传递函数表示为HS1(ω)和HA1(ω).则混合信号的频谱可以表示为

先通过S1模式的频散补偿函数(ω)对混合信号进行补偿可得

即S1模式已被还原为激励状态,而A1模式仍然处于频散状态,在时域上仍有较长持续时间.直接在零时刻以激励信号长度加窗,即可得到完整的S1模式以及局部A1模式的混合信号.即将问题转换为部分混叠信号分离的问题.局部混合信号表示为DS1A1(ω),

其中DA1为A1模式在窗内的局部信号.由于激励信号时域长度较短,因此A1模式主要信号成分仍然处于窗之外.窗中有完整的S1模式,所以更易在局部混合信号中提取出S1模式的特征参数.

图1 基于频散补偿和分数阶微分的分离方法流程图Fig.1.Separation method based on dispersion compensation and fractional dif f erential.

接下来对加窗后的信号进行处理,先利用傅里叶变换求得部分混合的幅值谱,再对幅值谱进行分数阶微分,提取分数阶微分的极大值与对应频率点拟合各项参数,通过高斯模型重构幅值谱,从而分离出S1模式非频散信号.最后通过HS1(ω)恢复频散即可得到分离后的S1模式时域信号,进而实现S1,A1模式的混合信号的分离.而两个以上模式混合信号的分离可通过提取一个模式信号后,从原始信号中减去该模式的信号,对剩余信号重复上述步骤,依次提取各模式信号,即可实现多模式混合信号的分离.

3 仿 真

3.1 多模式信号仿真

为了验证上述方法对多模式超声兰姆波的分离效果,先采用仿真数据,根据各模式的频散特性,通过钢板波速计算入射角频散曲线,采用高斯调制的S1,A1模式兰姆波信号作为分离的对象进行仿真测试,入射角-频厚积曲线如图2所示.

图2 兰姆波入射角频厚积特性曲线Fig.2.Lamb wave incident angle vs.frequency-thickness product.

激励信号如图3(a)所示,由频散曲线可知,选取入射角为26◦斜探头时,A1和S1模式对应的中心频率分别为3 MHz和3.15 MHz.所以激发出中心频率分别为3 MHz和3.15 MHz的高斯调制信号,同时分别根据相速度特性曲线通过频散公式计算出经过25 cm探测距离后叠加形成的信号波形如图3(b)所示,由混合信号幅值谱(图3(c))和短时傅里叶变换[25]时频分布图(图3(d))可以看出:A1,S1模式混合信号相互叠加,对应幅值呈非线性变化,A1,S1模式频散曲线相靠近,难以区分对应模式和提取独立特征参数.

而先对信号进行频散补偿,可以将多模式信号分离的问题转换为把完整的S1模式从它和A1模式残留信号的混合信号中提取出来的问题.图4(a)是经过频散补偿后的混合信号.从图3(c)和图4(b)中频谱对比发现,A1模式大部分能量被移除,而主要信号S1模式得以保留下来.这样减小了分离问题的复杂度.接下来就是要将S1非频散信号从与部分A1模式的叠加信号中分离出来.

图3 信号仿真结果 (a)激励信号;(b)模拟混合信号;(c)混合信号幅值谱;(d)时频分布图Fig.3.Signal simulation results:(a)Incentive signal;(b)simulated signal;(c)mixed signal amplitude spectrum;(d)time-frequency distribution.

图4 进行S1模式频散补偿后信号仿真结果 (a)时域波形;(b)幅值谱Fig.4.Signal stimulation results after S1dispersion compensation:(a)Time domain waveform;(b)amplitude spectrum.

对部分混叠信号进行傅里叶变换得到幅值谱,再进行分数阶微分,提取各阶微分极大值和极大值对应点参数,再通过拟合函数重构幅值谱,并恢复S1模式非频散时域信号如图5所示.

图5 提取S1模式非频散信号Fig.5.Extracted compensated S1mode signal.

最后通过频散公式HS1(ω)恢复频散即可得到分离后的S1模式时域信号如图6(a)所示.图中同时给出了原始S1模式的时域信号.从图6(a)可以看出,分离出S1模式信号与原S1模式信号几乎完全重合在一起.从图6(b)中S1的重构幅值谱和S1原信号幅值谱对比可以看出,重构信号中心频率、带宽和幅值与原S1模式信号基本一致.表1给出了S1模式重构信号和原信号参数对比.中心频率µ分别为3.16 MHz和3.15 MHz,相对误差仅为0.31%;A分别为764.1和797.6,相对误差为4.2%;σ分别为0.109和0.103,相对误差为5.8%.图6(c)和图6(d)分别是原S1模式信号和分离出的S1模式信号的时频分布.从图6可以看出,S1模式原信号和重构信号的时频分布走势完全相同.说明分离出的S1模式的信号与原信号保持了很好的一致性.

表1 S1模式原信号和提取信号参数对比Table 1.Comparison of parameters of the original signal and the constructed signal for the S1mode.

图6 原S1模式和重构S1模式信号仿真结果 (a)原S1模式和重构S1模式时域波形;(b)原S1模式和重构S1模式幅值谱;(c)原S1模式时频分布图;(d)重构S1模式时频分布图Fig.6.Simulation results of original S1mode signal and constructed S1mode signal:(a)Waveform of original S1 mode and constructed S1mode;(b)amplitude spectrum of original S1mode and constructed S1mode;(c)timefrequency distribution of S1mode of original signal;(d)time-frequency distribution of S1mode of constructed signal.

图7 原A1模式和重构A1模式信号仿真结果 (a)原A1模式和重构A1模式时域波形;(b)原A1模式和重构A1模式幅值谱;(c)原A1模式时频分布图;(d)重构A1模式时频分布图Fig.7.Simulation results of original A1mode signal and constructed A1mode signal:(a)Time domain waveform of original A1mode and constructed A1mode;(b)amplitude spectrum of original A1mode and constructed A1mode;(c)time-frequency distribution of A1mode of original signal;(d)time-frequency distribution of A1mode of constructed signal.

重复分离出S1模式的方法,先在时域从原混合信号减去提取出的S1模式信号得到剩余信号,进行频散补偿,通过时域加窗得到A1模式非频散波形.通过分数阶微分重构幅值谱,再通过幅值谱和探测距离重构A1模式.分离后的A1模式时域信号如图7(a)所示.图中同时给出了原始A1模式的时域信号.从图7(a)可以看出,分离出A1模式信号与原A1模式信号几乎完全重合在一起.从图7(b)A1的重构幅值谱和A1原信号幅值谱对比可以看出重构信号中心频率、带宽和幅值与原A1模式信号基本一致.表2给出了A1模式重构信号和原信号参数对比.中心频率µ与原A1模式信号基本一致,分别为2.981 MHz和3.0 MHz,相对误差仅为0.63%.A分别为840.9和797.6,相对误差为5.42%,σ分别为0.095和0.103,相对误差为7.6%.图7(c)和图7(d)分别是A1模式原信号和分离出A1模式信号的时频分布.从图7中可以看出,A1模式原信号和重构信号的时频分布走势基本相同.说明分离出A1模式的信号与原信号保持了较好的一致性.

从仿真结果来看,分离出的各模式信号与原信号保持较好的一致性,各模式能量分布和时域走势都基本相同,特征参数相对误差在8%以内.由此表明,本文方法可以利用频散特性和分数阶微分将各模式信号从混合信号中提取出来,实现多模式信号的分离.

图8 实验仪器和试件Fig.8.Experimental instrument and specimen.

表2 A1模式原信号和提取信号参数对比Table 2.Comparison of parameters of the original signal and the constructed signal for the A1mode.

图9 采集信号仿真结果 (a)时域波形;(b)幅值谱Fig.9.Acquisition signal simulation results:(a)Time domain waveform;(b)amplitude spectrum.

图10 不同模式信号仿真结果 (a)分离S1模式时域波形;(b)分离S1模式幅值谱;(c)分离A1模式时域波形;(d)分离A1模式幅值谱;(e)分离S1模式时频分布;(f)分离A1模式时频分布Fig.10.Various model signal simulation results:(a)Time domain waveform of S1mode signal;(b)amplitude spectrum of S1mode signal;(c)time domain waveform of A1mode signal;(d)amplitude spectrum of A1mode signal;(e)time-frequency distribution of S1mode signal;(f)time-frequency distribution of A1mode signal.

4 实 验

为了进一步验证方法的可行性,通过实验对上述方法进行验证.实验仪器和试件布置如图8所示.实验用奥林巴斯MX2探伤仪作为超声信号发生接收器,用接触法产生超声兰姆波.实验测试对象选用尺寸为400 mm×300 mm、厚度为1 mm的薄钢板.斜探头和钢板之间通过耦合剂耦合.用中心频率为3 MHz、入射角为26◦的斜探头激发超声兰姆波,探头的晶片尺寸为10 mm×10 mm.根据入射角-频厚积曲线,这种斜探头在1 mm厚的钢板中激励出的是A1和S1模式的混合信号.探伤仪采集数据后导入计算机,信号分离在Matlab软件中完成.当探头距离为10 cm时,采集信号时域波形和对应幅值谱如图9所示.

分离出的各模式信号波形、幅值谱和时频分布如图10所示,从分离的时域波形和时频分布可以看出A1模式和S1模式波形具有较好的平滑性,A1模式在相应频率频散缓慢,而S1模式频散较快.这一点符合各模式频散特性,也与仿真结果基本一致.A1模式的中心频率为2.92 MHz,S1模式的中心频率为3.08 MHz,两个模式中心频率相差0.16 MHz,也与钢板的频散特性曲线一致.

将重构的A1模式和S1模式信号相加,得到重构混合信号如图11所示.图中同时给出了原始实验采集到的信号.虽然在频率2.8—2.9 MHz范围处仍有误差,但可以看出时域波形和能量分布与原始信号基本一致,说明本方法可以成功的提取多模式混合信号中的各模式信号.从时域图上可以看出,信号的初始部分有较大的误差.从时频分布图中可以看出主要能量分布与原信号较为一致,但在初始时间(1.0—1.1)×10−5s范围内有部分能量缺失,而末尾能量有所增加.这说明提取出的信号仍有一定的误差.

图11 原混合信号和重构混合信号的仿真结果 (a)时域波形;(b)幅值谱;(c)原混合信号时频分布图;(d)重构混合信号时频分布图Fig.11.Simulation results of original mixed signal and constructed mixed signal:(a)Time domain waveform;(b)amplitude spectrum;(c)time-frequency distribution of original signal;(d)time-frequency distribution of constructed signal.

5 结 论

本文将频散补偿和分数阶微分相结合,通过时延函数建模,依靠不同模式频散的差异性,将复杂混叠信号的分离问题转化为部分混叠信号的分离问题;然后应用分数阶微分,对信号幅值谱分数阶微分极大值拟合多项式实现特征参数的提取,实现部分混叠信号中非频散模式的分离;再根据频散特性和探测距离,恢复时域波形,从而提取各模式信号,实现多模式分离.仿真和实验结果表明,本文方法不仅可以实现多模式信号的分离,更能保证分离精度,有助于复杂多模式频散信号的分离与处理.本文方法和现有多模式分离算法相比较,主要优点在于将频散补偿与分数阶微分相结合,解决了单模式频散补偿后仍与其他模式部分信号混叠的问题,提高了单模式非频散信号的提取精度,为实现多模式信号的准确分离奠定基础.从分离后各模式的时域波形和幅值谱与原信号对比发现,前一个模式提取信号的误差会影响剩余模式信号的提取精度.而且实际的激励信号并不一定都是高斯包络信号,所以用高斯模型进行拟合也存在一定的误差.