探究物理学中的对称性与守恒律
——物理定律的结构与分层

李秉钊

(北京师范大学附属中学,北京 100052)

1 前言

对称的概念来源于日常生活。自然界中的对称性结构,包括花瓣、蝴蝶、雪片等等,几乎是随处可见。通常所说的对称性,是指一个物体各部分之间平衡和谐。在数学中,德国数学家外尔定义：如果一个体系在经过操作变换后其状态与之前相同,则称该体系在此操作下对称。因此,可以通过计算一个体系对称操作的数目来评价该体系的对称性。比如,圆在绕圆心旋转任意角度的操作下是对称的,但正方形只在绕中心旋转90度整数倍的操作下对称,因此圆的对称性要比正方形更好,这也与常识相符。那么,物理学中的对称性又是什么样的呢？它又会导致怎样的结果？下面就这些问题作出回答。

2 物理学中的对称性

在物理学中,对称性主要是指物理学规律的对称性。例如,经典力学体系中的牛顿运动规律,电磁学体系中的麦克斯韦方程,热学体系中的热力学定律等等,这些物理规律在某些操作变化下具有相同的数学形式,这就是物理学中所说的对称性。这些操作包括空间平移、空间旋转、时间平移等等,而正是这些对称操作导致了守恒律的出现。

2.1 空间对称性

对于三维空间来说,最常见的操作是空间平移与空间旋转。空间平移指将物理体系朝某个方向平移一段距离,而空间旋转指将物理体系绕某个轴旋转一定的角度。显然,物理学规律的数学形式不应该在这些操作下发生变化。例如,单摆的运动周期T=2 π,这个规律的成立不应该依赖于单摆所在的位置。如果我们忽略地球重力加速度g的变化,那么拿着同一个单摆在地面上任何地方做实验,所得到的结果应该是相同的,这就是物理学规律的空间平移对称性。它的本质是空间各位置的等价性,即没有一个位置具有特殊的地位。同理,拿着单摆在同一位置面向不同方向做实验,得到的物理结果也应该是相同的,这就是物理学规律的空间旋转对称性。它的本质是空间各个方向的等价性,即没有一个方向具有特殊的地位。这两点对称性保证了任何物理实验可以在不同的位置和不同的方向重复,并且得到相同的规律。

2.2 时间对称性

在时间上,也可以进行一些操作,其中最常见的操作就是时间平移与时间反演。时间平移指将物理体系平移一段时间间隔Δt。一般的物理学体系,都应该满足时间平移对称性,即物理学规律不依赖于所选择的时间点。同样的单摆实验,在昨天或者今天、甚至任意时间点去操作,只要外界的环境是相同的,就应该得到相同的实验结果。时间平移对称性是一个相当普遍的对称性,它的本质是时间轴上各个时间点的等价性,即没有一个时间点具有特殊的地位。时间反演是将体系沿着时间逆方向操作。对于无阻力的单摆,其时间反演状态也符合牛顿运动定律,因此满足时间反演对称性。而对于有阻力单摆或者一些热现象,一般不满足时间反演对称性。

3 对称性与守恒律

关于对称性与守恒律之间的关系,德国女数学家诺特尔给出了著名的论断：物理体系的任何一个对称性都对应着一个守恒量,因此也就对应着一个守恒定律。这表明物理量的守恒不是偶然的,它与时空的对称性、甚至物理理论的对称性都有着紧密的联系。我们一旦破坏了相应的对称性,其守恒定律同时也就遭到了破坏。假设在某地白天的重力加速度g大,晚上的重力加速度g'小,这样白天和晚上的物理规律就不再相同,即破坏了时间平移对称性。那么,我们可以建造一个永动机,晚上抽水贮存在高处,白天再利用水的落差做功,由于存在势能差ΔE=m(g-g')h＞0,就会有源源不断的能量输出,能量守恒定律因此被破坏。这说明,能量守恒定律是系统时间平移对称性的结果。同样的,也可以证明动量守恒定律是系统空间平移对称性的结果,角动量守恒定律是系统空间旋转对称性的结果等等。因此,物理学中的守恒律并不是什么先验的假设,而是系统对称性的必然结果。

4 物理定律的结构与分层

物理学在不同的领域里有许多不同的定律,但是它们的地位并不相同,而是分层次的。例如,力学中的胡克定律,电磁学中的欧姆定律,热学中的理想气体方程等等,只是适用于一定条件范围内经验性的规律,属于较低层次的定律。而经典力学中的牛顿定律,电磁学中的麦克斯韦方程与热学中的热力学定律,属于较高层次的定律,其适用性要广泛得多：超过弹性范围,胡克定律就被破坏了,但牛顿定律依然成立;对于非线性电阻,欧姆定律不适用了,但麦克斯韦方程依然成立;对于非理想气体,理想气体方程失效了,但热力学定律依然成立。守恒定律相比于前两类,属于更高层次的物理定律。就能量守恒定律来说,这是横跨整个物理领域的普遍法则,力学、电磁学、热学都需要满足这条定律。例如在电磁学里,可以类比于经典粒子定义电磁场的能量、动量、角动量等物理量,这些物理量在电磁场的变化过程中是守恒的。这些守恒定律的来源就是物理学中的对称性,因此对称性已成为物理学中最核心的概念,是主宰整个自然界的顶层法则。

5 结语

在本文中,我们探究了物理学中对称性与守恒律之间的关系,指出了时空对称性与物理量守恒之间的因果联系。对称性已经成为现代物理中最核心的概念,也是自然界中最顶层的法则。同时,物理学中对称性概念的发展,也离不开数学家对它做出的贡献。关于对称性的研究作为物理学家与数学家合作的典范,将会在未来的科学发展中起到更加巨大的作用。

[1] R.P.费曼.走进费曼丛书：物理定律的本性[M].湖南科学技术出版社,2012.

[2] 赵凯华.时空对称性与守恒律(上篇)——牛顿力学[J].大学物理,2016,35(1)：1-3.

[3] 赵凯华.时空对称性与守恒律(下篇)——经典电动力学[J].大学物理,2016,35(8)：1-13.

[4] 王文清.生命起源中的对称性破缺[J].北京大学学报,1997,33(2)：265-272.

[5] 黄涛.对称性和对称性破缺[J].现代物理知识,2008(6)：3-6.?