传送带模型中的功能关系分析

河北 樊秀才 张艳荣

传送带类问题是以真实物理现象为依据的问题，这类问题是可以涉及力、运动、能量等知识比较综合的一种常见模型，也是很多考试包括高考命题者比较青睐的一类问题，尤其是传送带中的能量问题，很多学生觉得无从下手，教师在教学中也总感觉讲不透。本文将从做功和能量两个方面分析传送带能量问题，期望对大家的传送带教学有所帮助。

一、传送带中的摩擦力做功特点

图1

(1)木块从顶端滑到底端所需要的时间;

(2)木块从顶端滑到底端摩擦力对木块做的功；

(3)木块从顶端滑到底端摩擦力对传送带做的功；

(4)木块从顶端滑到底端产生的热量？

解：(1)刚开始时对小木块受力分析有

mgsin30°+μmgcos30°=ma

得a=10 m/s2

小木块与传送带速度相同后，因为mgsin30°=μmgcos30°，小物块所受滑动摩擦力突变为静摩擦力f，且f=mgsin30°,开始做匀速运动

t=t1+t2=1.65 s

(2)0～0.5 s内滑动摩擦力对木块做功：

W1=μmgcos30°·x1=2.5 J

0.5～1.65 s内静摩擦力对木块做功：

W2=-mgsin30°x2=-11.5 J

W=W1+W2=-9 J

(3)0～0.5 s内传送带位移

x传1=vt1=5×0.5 m=2.5 m

滑动摩擦力对传送带做功

W1=-μmgcos30°·x传1=-5 J

0.5～1.65 s内传送带位移

x传2=vt2=5×1.15 m=5.75 m

静摩擦力对传送带做功

W2=mgsin30°x传2=11.5 J

W=W1+W2=6.5 J

(4)由(3)可知，在0.5～1.65 s内静摩擦力对系统做的总功为零，系统与外界无能量转化。

在0～0.5 s内滑动摩擦力对系统做的总功为负，将系统的机械能转化成内能，因此木块从顶端滑到底端产生热量Q=μmgcos30°(x传1-x1)=μmgcos30°Δx=2.5 J

【小结】传送带模型中的摩擦力做功特点

1.摩擦力对物体做的功

WF=±Fx1其中x1是物体对地的位移

根据动能定理，对于水平传送带

由此可见，摩擦力对物体做功等于物体机械能的变化。

2.摩擦力对传送带做的功

WF′=±Fx2其中x2是传送带对地的位移

对于匀速运动的传送带由动能定理得WF′+W外=0

因此摩擦力对于传送带做负功时，我们通常说成是传送带克服摩擦力做功，这个功的数值等于外界向传送带系统输入的能量。

3.摩擦力对传送带系统做的总功

W总=WF′+WF

对于一对相互作用的静摩擦力，因为相互作用的两个物体相对静止，二者对地位移均相等，所以W总=0(即静摩擦不生热)。

对于一对相互作用的滑动摩擦力，滑动摩擦力总是对速度大的物体做负功，对速度小的物体做正功，即

=-FΔx

所以一对相互作用的滑动摩擦力对系统做的总功一定为负，这个功的数值等于摩擦力与相对位移的积(即滑动摩擦产生的热量)。

二、传送带中的功能关系和能量转化

根据功能关系可知，由于摩擦力做功，必定会引起对应能量转化，现以水平传送带为例分析如下：

情景摩擦力做功摩擦力对物体做功摩擦力对传送带做功摩擦力对传送带系统做功能量转化物体同向滑上传送带,且v0v摩擦力对物体做负功,物体动能减小摩擦力对传送带做正功,电动机少消耗部分电能摩擦力对传送系统做负功,系统产生内能物体损失动能转化为系统内能同时电动机少损失电能,关系为ΔEk=ΔE电+Q物体以传送带相反方向滑上传送带,物体减速过程中摩擦力对物体做负功,物体动能减小摩擦力对传送带做负功,电动机多消耗部分电能摩擦力对传送系统做负功,系统产生内能物体损失动能和电动机多损失电能都向系统内能转化,关系为ΔEk+ΔE电=Q

由上表可知，在水平传送带模型中摩擦力做功会引起物体动能、内能以及电动机消耗电能的相互转化。如果是倾斜传送带，还会有物体重力势能变化参与，但均遵循能量守恒定律。因此，我们在分析传送带能量问题时，可以从功能关系和能量转化与守恒两个角度考虑。

【例2】如图2所示，水平传送带在电动机带动下以速度v1=2 m/s匀速运动，小物体P、Q质量分别为0.2 kg和 0.3 kg。由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相连，t=0 时刻P放在传送带中点处由静止释放。已知P与传送带间的动摩擦因数为0.5，传送带水平部分两端点间的距离为4 m，不计定滑轮质量及摩擦，P与定滑轮间的绳水平，取g=10 m/s2。

(1)判断P在传送带上的运动方向并求其加速度大小；

(2)求P从开始到离开传送带水平端点的过程中，与传送带间因摩擦产生的热量；

(3)求P从开始到离开传送带水平端点的过程中，电动机多消耗的电能。

图2

【答案】(1)P释放后受到向右的摩擦力，大小为

Ff=μmPg=1 N

由mQg-FT=mQa

FT-Ff=mPa

可得a=4 m/s2

物体P向左做匀加速运动，加速度大小为4 m/s2。

(2)P离传送带左端的距离x=2 m

物体P相对于传送带的相对位移

s相=x+v1t=4 m

产生的摩擦热Q=Ff·s相=4 J。

(3)方法一：由功能关系可知，电动机多消耗的电能等于传送带克服摩擦力所做的功

E=Ff·v1t=2 J

方法二：根据能量转化与守恒定律，可知物体Q减小的重力势能和电动机多消耗的电能转化为物体P、Q动能和系统内能

代入数据解得E电=2 J