基于非线性Mohr-Coulomb准则的刚性条形基础下伏孔洞承载特性变分分析

李亮，石鹤扬，曾中林，胡世红



基于非线性Mohr-Coulomb准则的刚性条形基础下伏孔洞承载特性变分分析

李亮，石鹤扬，曾中林，胡世红

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)

基于非线性Mohr-Coulomb(MC)破坏准则以及相关流动法则，构建刚性条形基础下伏孔洞冲切破坏机制；结合变分原理，推导出刚性条形基础下伏孔洞冲切破坏曲线的表达式，进而得到冲切破坏时的极限承载力。分析刚性基础随岩土体参数变化时，冲切破坏极限承载力的变化情况和破坏模式。研究结果表明：非线性系数的大小对刚性基础极限承载力的影响较为显著。随着非线性系数的增大，刚性基础极限承载力不断减小；极限承载力随岩土体初始黏聚力0的增大而增大，随岩土体重度以及抗拉强度的增大而减小。岩溶顶板冲切破坏宽度随初始黏聚力0的增大、重度的减小以及抗拉强度的减小而增大。

冲切破坏；极限承载力；非线性MC准则；极限分析上限定理；变分分析

我国幅员辽阔，岩溶地质分布十分广泛。工程上地勘资料的获取可能存在一定的误差，导致岩溶地区的工程选址不合适，特别是对桥梁桩基的选址尤为关键。在岩溶发育的地区建设重大工程，要求桥梁桩基的承载力很高，采取一般的填堵或强夯等简单方式往往只能消除浅层的土洞，而桩基抗压承载力增幅不明显。如果桥梁桩基下伏溶洞或存在软弱下卧层，当桩基承受较大的荷载时常发生破坏。国内外学者对岩溶区桩基的破坏做了很多研究，其中Wyllie[1]通过大量的荷载试验研究了上硬下软的双层地基的破坏模式，其结果表明，理论上当岩石的最大主应力大于其抗拉强度时却没有发生张拉破坏，由此说明岩层很少出现皱曲和弯曲破坏，而是以冲切破坏为主；张慧乐等[2]通过大量的岩溶区嵌岩桩的破坏试验，认为当岩溶顶板较薄且桩端岩层较完整时，顶板破坏以冲切破坏为主。赵明华 等[3−4]也认为岩溶区桩端岩溶顶板易发生冲切破坏，并基于Griffith岩石非线性强度准则研究了桩端岩溶顶板的冲切破坏模式，提出了冲切破坏模式下岩溶顶板安全厚度的计算方法。目前国内外专家学者对岩溶区桩基抗冲切破坏模式的研究大都参照研究较成熟的钢筋混凝土板、屋梁楼盖以及桩基承台等在局部荷载作用下的破坏模式，并假设破坏分离面上的剪应力和法向应力均匀分布，且把这2种应力的作用分开考虑[3−5]。该方法往往带有很强的经验性，不能正确反映桩端岩层在桩端均布荷载作用下的真实受力状态。理论及试验研究表明，板在局部荷载作用下冲切破坏时，其破坏面上同时存在切应力和正应力，且其分布规律与破坏面裂缝的宽度和深度有关[6]。针对目前桩基冲切破坏模式研究中存在的不足，本文根据极限分析上限定理以及相关流动法则，并基于非线性Mohr-Coulomb(MC)强度破坏准则，结合变分法的欧拉方程及其边界条件，对桩端岩溶顶板冲切破坏模式进行分析，并理论求解了桩端岩层冲切破坏的极限承载力及其破坏模式。本文从理论上推导得到了岩溶顶板的极限承载力，相比前人研究所得的冲切破坏最小安全厚度的确定方法，具有较强的理论与实践意义。

1 基本理论

1.1 极限分析上限定理

极限分析上限定理认为：在任意一个假设的满足速度边界条件和应变和速度相容条件的机动许可的速度场中，由虚功率方程

1.2 非线性Mohr-Coulomb(MC)强度破坏准则

根据Mohr-Coulomb准则，当岩土类材料发生破坏时，其破坏面上正应力与切应力呈线性关系。然而前人通过大量的实验证明[7−9]，对于岩土类材料，莫尔强度包络线在莫尔平面内是一条外凸曲线，如图1所示。

图1 非线性强度准则

显然，破坏面上法向应力与切向应力之间呈非线性关系。根据文献[10−15]，非线性莫尔强度包络线，即非线性强度准则，采用应力形式可表示为：

其中：0为初始黏聚力(0≥0)；t为土体单轴抗拉强度(t≥0)，二者均可由试验确定。在莫尔平面n−内，0表示强度包络线与纵轴的截距，−t表示强度包络线与横轴的截距；是与岩土类材料性质有关的无量纲系数，它表征了强度包络线的弯曲程度，且≥1.0。当=1.0时，强度包络曲线退化为直线，非线性MC强度准则退化为线性MC准则。其表达式如下：

2 刚性条形基础下伏孔洞冲切上限变分分析

2.1 水平条形刚性基础下伏岩土体冲切破坏模型

图2 条形刚性基础下伏岩土体冲切破坏机制

2.2 水平条形刚性基础下伏岩土体冲切极限承载力

2.2.1 条形刚性基础下伏岩土体冲切能耗计算

将刚性基础下伏岩土体冲切破坏速度间断面视为具有一定厚度的薄变形层，其上的剪应力和正应力n满足非线性MC强度破坏准则，则根据式(1)，屈服函数可表示为：

在主应力空间内，令塑性势函数面与强度屈服面重合，则根据相关联的流动法则，可得塑性势函数为：

根据塑性位势理论：

则将式(5)代入式(6)中可得分离薄层上的塑性应变率为：

根据图2中几何运动关系，可得：

冲切破坏体分离薄层上的塑性应变率也可表示为：

将式(8)代入式(9)中可得：

为满足变形的相容协调，式(7)和式(10)中的塑性正应变率分量和剪应变率分量应分别相等，故可得分离薄层上的正应力分量和剪应力分量：

冲切破坏时内部能耗仅发生在破坏分离面处，故薄变形层上单位体积的耗散功率为：

由于≥1.0，故有<0。由于条形刚性基础下伏岩土体冲切破坏是对称破坏，沿破裂面曲线()在[0,]上积分，系统内部的能量耗散功率为：

其中：为()在区间[,]上的曲线总长度。

对于外力的功率，主要有破坏岩土体的重力功率，刚性基础的极限承载力的功率以及下伏孔洞顶部的支护力功率。其中，岩土体重力的功率为：

条形刚性基础下伏岩土体冲切极限承载力u的功率为：

刚性基础下伏孔洞洞顶支护力的功率为：

根据虚功率原理建立平衡方程，内能耗散功率等于外力功率，则有：

将式(13)~(16)代入式(17)中可得条形刚性基础性下伏孔洞冲切极限承载力u的表达式为：

式中：

根据极限分析上限定理，由式(18)所确定的条形刚性基础下伏岩土体冲切极限承载力应大于真实的极限承载力，因此在所有的上限解中应寻求一个最小值，才能更接近真实解。极限承载力u的极值完全由式(19)所确定，显然是一个泛函，基于变分原理可以将这一泛函的极值问题转化为求解欧拉方程在满足边界条件下的定解问题。对应的欧拉方程为：

根据欧拉方程，分别对()和()求偏导得：

将式(21)代入式(20)中并整理可得：

式(22)是一个简单幂函数，因此积分可得原 函数：

式中：1，2为积分常数，可由边界条件确定。

将式(22)和式(23)代入式(18)中并整理可得冲切极限承载力为：

2.2.2 条形刚性基础下伏孔洞冲切极限承载力

由式(24)可知，冲切极限承载力的表达式中只有1，2和是未知的，故需要3个边界条件求得。由图2可得破坏瞬间冲切破坏体的位移边界条 件为：

式中：为下伏孔洞冲切破坏半宽。仅由式(25)无法求得1，2和3个未知数，故引入应力边界条件。由于冲切破坏时没有水平外力作用，且冲切破坏为对称破坏，故根据刚性基础端部微元体的平衡可知，水平剪应力分量τ=0。其表达式为：

根据式(8)可得：

故有：

根据式(25)和式(28)可以求得1，2和的值，代入式(24)可得极限承载力u的数值。

2.3 参数与破坏模式分析

由式(24)可知，影响刚性基础下伏孔洞顶板冲切极限承载力的因素众多，且非线性系数对极限承载力的影响尤为显著，以下分析孔洞顶板冲切极限承载力随单一参数的影响变化情况以及破坏模式的变化。取刚性基础宽度2=1~3 m，岩土体抗拉强度t=30~70 kPa，岩土体初始黏聚力0=10~30 kPa，岩土体重度=14~22 kN/m3，顶板厚度=6~10 m，孔洞顶板支护力=80~120 kPa，分别绘制出极限承载力随=1.0~3.0之间变化时的影响曲线及其破坏模式。如图3~14。

图3 Pu随C0变化曲线

图4 Pu随d变化曲线

图5 Pu随γ变化曲线

图6 Pu随H变化曲线

综合图3~8可知，非线性系数对极限承载力的影响较为显著，在一定参数条件下，极限承载力随的增大而减小，且减小的趋势趋于平缓。同时由图3，5和7可以看出极限承载力u随岩土体初始黏聚力0增大、顶板支护力增大和岩土体重度减小而增大，结合极限承载力表达式(24)可知0和增大分别增加了破坏面内能耗散功率和支护力功率，而减小减少了重力做功功率；由图4可看出，极限承载力u随刚性基础宽度增大而减小，结合图10知增大不会影响破坏模式形态，但破坏范围内重力做功功率增加；由图6可看出，u随顶板厚度增大而减小，结合图12可知增大对破坏模式形态影响较小，但破坏范围内破坏面内能耗散功率增加的量值小于重力做功功率增加的量值；由图8可看出，u随岩土体抗拉强度t增大而减小，结合图14可知岩土体抗拉强度t增大使破坏范围减小，且增大过程中破坏面内能耗散功率和重力做功功率分别对极限承载力u起到了控制作用。

图7 Pu随q变化曲线

图8 Pu随σt变化曲线

图9 C0变化条件下破坏模式对比图

图10 d变化条件下破坏模式对比图

图11 γ变化条件下破坏模式对比图

图12 H变化条件下破坏模式对比图

图13 q变化条件下破坏模式对比图

图14 σt变化条件下破坏模式对比图

由图9~14可知，岩溶顶板冲切破坏宽度随岩土体初始黏聚力0的增大、刚性基础宽度的增大、岩土体重度的减小、顶板厚度的增大以及岩土体抗拉强度t的减小而增大。由图12可知，顶板厚度对破坏模式并无影响，只是由于厚度的增加，其破坏宽度在原有小厚度顶板的破坏宽度之上延伸，即将图12中曲线的起点设置在同一点，则曲线会重合。由图13可知，顶板支护力既不影响破坏模式，也不影响冲切破坏宽度，结合本文第3节变分分析过程可知这与本文所采用的破坏模式假定有关。

3 结论

1)根据非线性Mohr-Coulomb强度破坏准则以及相关流动法则，构造出条形刚性基础下伏孔洞顶板受冲切破坏的机动许可速度场；基于极限分析上限定理结合变分分析方法，推导获得条形刚性基础下伏孔洞顶板冲切极限承载力表达式以及岩土体破坏曲线函数表达式。

2)非线性系数对极限承载力的影响显著，在一定参数条件下，极限承载力随增大而减小，且减小趋势趋于平缓。极限承载力随岩土体初始黏聚力增大、顶板支护力增大而增大，随刚性基础宽度增大、岩土体重度增大以及顶板厚度增大而减小；随岩土体抗拉强度增大，增大过程中破坏面内能耗散功率和重力做功功率分别对极限承载力u起到了控制作用。

3)下伏孔洞顶板冲切破坏宽度随岩土体初始黏聚力增大、刚性基础宽度增大、岩土体重度减小、顶板厚度增大以及岩土体抗拉强度减小而增大。顶板厚度不影响破坏模式，只影响破坏宽度。顶板支护力不影响冲切破坏模式及破坏宽度。

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(编辑 涂鹏)

Variational analysis of bearing characteristics of the cavity under the rigid strip foundation based on the nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion

LI Liang, SHI Heyang, ZENG Zhonglin, HU Shihong

(School of Civil Engineering, Central South University,Changsha 410075,China)

Based on the nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion and the associated flow rule, a punching sear failure mechanism of soil under the rigid foundation was constructed, the expression of punching failure curve was deduced according to the variation principle, and then the ultimate bearing capacity was obtained. The influence of ultimate bearing capacity of the rigid foundation and failure mode were analyzed with the soil parameters changing. The results show that the nonlinear parameterhas significant influence on the ultimate bearing capacity, and it will decrease constantly with the improvement of nonlinear parameter, the ultimate bearing capacity will increase with the improvement of the initial cohesive force0of soil, but will decrease with the improvement of the densityand tensile strengthtof soil. The failure width of karst roof will increase with the improvement of the initial cohesive force0of soil, but will decrease with the improvement of the densityand tensile strengthtof soil.

punching failure; ultimate bearing capacity; nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion; upper bound theorem of limit analysis; variation analysis

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2018.12.010

TU470

A

1672 − 7029(2018)12 − 3089 − 08

2017−11−06

国家自然科学基金资助项目(51478477)

李亮(1962−)，男，江苏泰州人，教授，博士，从事道路与铁道工程的研究；E−mail：liliang_csu@126.com