聚焦渗透在各类考试中的平方思想

安徽省无为第三中学城北校区(238300) 朱小扣

笔者觉得这两年的高考试题,虽然少了前两年各省自主命题时的百家争鸣、百花齐放,但题目却出得十分平稳,区分度也不错.而对平方思想的考察更是多次出现,这应引起我们的重视,本文将围绕平方法的运用展开讨论,着重介绍利用平方思想解题的五种形式,以期对大家有所帮助.

1.利用平方思想求函数最值问题

例1(2017浙江高考第15题)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是____,最大值是___.

解设〈a,b〉=θ,则

例2(2015年湖北初赛第8题)函数的值域是____.

解(换元平方法)令平方得:,故,由上式得,代入原函数得:y=(u+,即,故恒成立,所以函数在上是增函数,所以.

点评像这种直接平方或换元后平方在考试经常出现,例如:

(2)求f(x)=|sinx|+|cosx|最小正周期和值域.

(3)求y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.

对于这种试题而言平方法可以说是最有效的解题方法,应该让学生重视和灵活运用这种方法.

例3(2011年高考浙江卷)已知x,y∈R,4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值为___.

解令2x+y=k,则y=k-2x.将其代入原式得:4x2+(k-2x)2+x(k-2x)=1,即6x2-3kx+k2-1=0,由Δ=9k2-24(k2-1)≥0得到5k2≤8,从而,即.

2.利用判别式求最值

例4(2016年世界数学团体锦标赛青年组)已知a＞0,b＞0,求的最小值.

令a+b=t,则由不等式有正解推知解得,故最小值为,当且仅当时取等号.

点评判别式法是一种常规的解题方法,主要是先确定主元,然后利用主元有解得到Δ≥0,从而解得答案.用它可以解决很多类似的问题,所以不能忽略它的作用.

3.利用平方思想证明无理不等式

例5(数学通讯问题309)已知a,b,c,d为正数,且a+b+c+d=1,试求的最大值.

例6已知a,b∈R+,求证:1.

证明由赫尔德不等式可得:

点评由……