数形结合在解题中的应用

吴新平（湖北省监利县芦陵中学，湖北 监利）

在欧洲，早在17世纪，法国著名数学家笛卡尔就已经针对数形结合进行了系统的总结与分析。尤其是笛卡尔通过坐标系的建立从而创立了解析几何学，更是为数学的研究提供了更加广阔的思路。中学作为学生九年义务教育以及进入大学教育的一个过渡阶段，采用系统的教学方式培养学生发现问题和解决问题的解题思路，能够对学生之后的学习过程进行有效的培养。

一、借助于方程的曲线解决最值问题

方程曲线是在进行方程解答过程中极为常见的一种方式方法，在具体的运算过程中，应该注重对这一方式的推广和运用。以下题为例：

图1

通过对题目进行分析不难了解到，针对二元函数y-3x=b在限定条件下求值问题，如果采用构造直线的方式来进行，将能够对解题方法进行简化。具体解析：首先应该令y-3x=b，从而得出 y=3x+b，即可将原来的问题转化为：在椭圆形上求一点，使得过该点直线的斜率为3，同时可以显示在y轴上的截距最大或者最小。通过画图可以了解到（图1），当直线与椭圆形相切时，则有最大截距与最小截距。

由Δ=0得b=±13，故y-3x的最大值为13，最小值为-13。

图2

二、借助于函数图象解决取值范围问题

采用函数图象的方式进行数学取值范围问题的解决也是较为常见的方法之一，在具体进行问题解决的过程中，可以以下题为例：

三、借助于函数图象解决不等式的值域问题

采用函数图象来表示不等式之间的关系同样也是在数学教学以及阶梯过程中常见的一种方法，以下题为例：

这一题不采用数形结合的方法，采用常规的解法如下：

通过这一解法需要对x的各个几何进行划分，极易出错：解得0≤x＜2或-2≤x＜0，故原不等式的解集为或

图3

同时可以了解到，在解决具体问题的过程中，采用数形结合的方式将代数问题进行了图像具化，只需要设置两个函数，同时结合图像就能够将答案进行总结，方便快捷，同时也能使思路变得更加清晰。

总之，数形结合的实质是将数学常规语言以及较为常见和直观的图像图形进行联系，广大数学教师队伍应该对数形结合思维更加重视，使学生的课程学习过程更有效率。