高中数学解题的类比推理运用分析

邵姝媛

（山东寿光现代中学高二37班，山东 寿光）

在抽象知识的学习中高效应用类比推理思想可以将已经学习过的实际问题迁移到尚未学习的、抽象的、较难理解的数学知识中。发挥类比推理的工具作用，明确其数学意义，并在数学实践中增强应用，帮助减轻高中数学解题实践难点。

一、数学类比推理能力培养现状分析

1.教学中忽视，缺乏研究意识

数学是演艺、归纳的科学，但长期以来高中数学学习中忽视合情推理的应用。演绎推理固然可以解决很多问题，但不借助数学“发现问题”这一优势。当前数学教学中仅仅将类比推理局限在数学解题的应用中，不重视思维能力的培养，导致多数同学自我认知意识弱，创新思维得不到开发。此外，课本中相应教学素材少，仅出现在选修部分的“推理与证明”一章。教师更多将精力放在“证明”的讲解和应用上。长期忽视类比推理，缺乏研究意识，实际教学环节该部分能力培养脱节。

2.局限于解题研究，教学中体现不足

学生类比推理能力的培养局限在数学解题研究中，仍以题海训练，疲于应付高考。为了提升解题能力，教学和学习中会采用分类讲解的办法，探究不同题目的相似性，便于学生通过典型题目的解题思路和方法，类比迁移至其他题目中，提升解题能力。但数学教学过程中，深层次的类比推理思想无法在教学中体现出来。

3.学生类比推理认知弱，整体水平不高

目前数学学习中，多数同学发现问题、提出问题、勇于创新和挑战的意识还未养成。机械模仿教师方案、简单套用教学内容的现象十分普遍。更多时候，学生只是知识的搬运工，无法通过类比推理的应用，透过数学概念、原理、模型等进行数学学习的深层次延伸。类比推理能力水平整体低下，对类比的属性判断不清，且无法进一步延伸到实际问题的应用中。对类比推理的概念理解不到位，只能做到词句之间的表征结构对比，无法从内容本质上进行类比加工，对上升的高阶关系等相似性无法理解应用。

二、数学类比推理能力发展的意义

类比推理的本质是对思维本质和结构的提升重塑。类比推理能力的提升可以促进思维水平的发展，开发思维创新能力。对高中生而言，类比推理是思维创新的起点，而数学学科的基础性地位，使其思维能力开发、大脑训练以及理性思维得到不同程度的训练。

当前数学学习中的原理、定理、结论都是经过类比、归纳等探究过程的反复分析，才能得出实践问题的解决方法和结论，并经过反复论证、猜想，在确立推翻过程中得到新结论。

高中阶段大脑思维水平和能力处于上升时期，类比推理能力的提高可以促进思维灵敏度、创新性思维的发展。这一思维品质的提升可以促进同学们自主学习能力和学习兴趣的提高。类比推理能力的培养是促进科学创新与探究发现的关键机制，是培养创新能力的重要法宝，更是执行素质教育的有力武器。

三、高中数学解题的类比推理运用分析

1.几何解析题目中巧借形式、概念以及方法相似性进行解题

例1：有正方形ABCD，M是边BC上一点，E是边CD的中点，AE平分∠DAM。①试证明AM=AD+MC；②AM=DE+BM，是否够成立，若成立给出证明，不成立给出理由。③若四边形ABCD是长宽不等的矩形，其他条件不变，则①②中结论是否依然成立，请做出判断。四边形如下图所示。

对于①式的证明，两个四边形ABCD都可以通过做AE和BC的延长线，构造相似三角形，得证边相等。并利用角平分线性质得出三角形“等角对等边”。通过等边转换问题得证。②式同样通过对四边形做辅助线，创造边角相等条件，并借助三角形形似、角平分线、四边形性质以及边角转换等层层递进寻找问题的答案。

例1利用类比方法，对正方形和矩形几何题进行证明。通过将题目的求解任务进行层层分解，通过简单问题的层层深入，理清思路，找到解题路径，并将解题方法迁移至类似的情景中。通过相似问题的解决，在自主解题过程中具有带入感，更容易找到解决途径。

高中阶段空间几何学习和解题中，很多同学由于空间思维能力不到位，导致相关知识难以理解。做关于球的习题时，可以通过类比圆帮助学生进行球的体积、表面积以及内接图形等相关概念性质的类比。通过圆和球由平面向立体的过渡，借助圆考虑球问题，丰富解题空间。

2.借助典型变式，加深不等式理解记忆

同样，借助类比可以对不等式相关内容进行分析和讲解。尤其不等式等新知识的讲解中，要关注老师对解题方法和策略的渗透。主动培养逆向思维和创新思维的培养。巧借变式帮助把握不同知识点多样化的考查方向。不等式内容的考试中最常见的问题就是求极值，而最值的求解条件应满足“一正，二定，三相等。”

解析，由于例2已知条件满足不等式求最值的基本条件，可直接进行求解当且仅当时取最小值，x=1.

上述①②③式是例2的变式，未满足不等式求最值的三个基本条件。因此，想要运用不等式的求解需要进行变形然后求解。变式①中可做如下变形可得得 y≤-2，当且仅当时取最大值，即x=-1.而变式②限定x的取值范围，不满足“三相等”的求解条件。变式③可首先对求解目标做一定变形，并利用不等式性质求解。

重视变式在不等式求解中的应用，从多角度思考，重视变式练习，借助变式这一类比形式培养并激发发散性思维。

高中数学教学和解题训练中，类比推理思想和策略的应用十分广泛。在解题教学中运用多种方法，将类比推理思想贯穿在不同的知识模块，潜移默化中帮助养成健康的思维品质，把握类比的实质，并贯穿在整个自主学习中，提升高中数学学习实效。