亚里士多德划分格与亚里士多德逻辑*,†

周北海

北京大学哲学系

zhoubh@phil.pku.edu.cn

王强

北京大学哲学系

wqiang_1119@163.com

郑植

北京大学哲学系

legend05jbb@sina.com

亚里士多德逻辑究竟是什么逻辑，目前的几种主要看法都是基于数理逻辑的理论得到的，虽然略有不同，但都认为亚里士多德逻辑是一阶逻辑的子逻辑。从技术的观点看这个结论没有错。但是为什么会有这样一个子逻辑，这个逻辑的思想和理论基础是什么，仍然需要回答。特别地，亚里士多德逻辑是逻辑学的开端，这个问题的探讨也就更为重要。对此我们认为，亚里士多德逻辑是一种什么逻辑，应该回到亚里士多德的概念理论来考察。亚里士多德概念理论内容丰富，作为其逻辑基础的部分是划分理论。亚里士多德逻辑是建立在他的划分理论基础上的。

1 亚里士多德分类树与亚里士多德正负二分法

考察亚里士多德的划分理论应该从柏拉图开始。历史上首先由柏拉图提出了二分法。柏拉图的二分法是下定义的方法。为了获得“钓鱼人”的定义，先将人分为“有技艺的”和“没有技艺但有别的能力的”，可以知道钓鱼人属于前者；再将“有技艺的”分为“创造的技艺”和“获取的技艺”，可以知道钓鱼人属于后者；接下来继续将“获取的技艺”分为两种……依此类推，直到得到“钓鱼人”的类为止。（[8]，第6–9页）亚里士多德在两个方面对柏拉图二分法进行了改造。

(1)根据生物学分类，将二分改为多分，事实上提出了生物学分类树。1有学者认为，亚里士多德研究划分理论只是为了下定义，并不关心生物学分类的问题，如Pellegrin（[6]）。也有学者认为，亚里士多德虽然没有明确谈论生物学分类，但这并不能表明他对此没有兴趣，如Balme（[1]）和Lloyd（[5]）等。Falcon（[4]）则认为，划分只是一种方法，既可以用于下定义，也可以用于生物学分类。我们认为，尽管亚里士多德讨论划分的目的的确是下定义，但这并不妨碍他的划分理论事实上给出了生物学分类树，而下定义本质上就是在这棵树上找到一条由最高的属通往被定义的种的枝。

亚里士多德认为，柏拉图二分法不适于生物学分类，因为“正确的办法是按类来了解动物，按照大多数人的方式，他们是根据很多特点而不是按二分法来分类”。（[17]，第 17 页）

亚里士多德年少时曾经当过医师学徒。柏拉图去世后，又曾在小亚细亚地区进行较长时间的生物学研究。恩斯特•迈尔（Ernst Mayr）说，“他是将生物学分门别类的第一个人。……虽然他没有提出正式的分类（法），但是他按一定的标准对动物进行了分类，而且他对无脊椎动物的分类比两千年后林奈的分类更合理。”（[10]，第59页）现存《亚里士多德全集》中关于生物学的篇章有《动物志》《论动物部分》《论动物行进》《论动物运动》和《论动物生成》。在《论动物部分》（[17]，第13–20页）中，亚里士多德谈到了他的分类方法，大致可以总结如下：

(i)根据物种的诸多特点分类，每一种类都是通过多种差异系列界定的；

(ii)程度上有差异的生物为同一类，特征上有相似性的归为不同类；

(iii)必须根据事物的实体或本性进行划分，而不能仅仅根据事物的属性。

由(iii)可知，与现代生物学不同，亚里士多德认为对事物的划分需要依赖本质属性。其中，“本质特性被设定为与其他所有事物相关且又使一事物区别于其他所有事物的东西；例如，能够获得知识的那种有死的动物就是人的本质特性”。（[18]，第440页）实际分类时，亚里士多德首先确定最大的类，作为“属”，然后按照一定的标准将其分为其下属的亚类，称为“种”。每个“种”在下一轮较低级的划分中成为“属”，“属”再细分为“种”。如此重复进行，直到最低级的种不能再分为止。这样就会得到一个生物学分类系统，形象地看，像一棵树。用集合论的记法，这是一个由所有生物的类D的某些子类形成的偏序结构(TD,⊆)，其中TD⊆℘(D)，这样的结构以下称为亚里士多德分类树。亚里士多德分类树(TD,⊆)，是以生物学分类为摹本的分类树，但并不完全是生物学的分类系统。这种分类树的一个重要特点是，其中没有空类。这成为亚里士多德逻辑主项非空的预设。

(2)将柏拉图正反二分法加以改造，提出正负二分法。

传统逻辑将概念按外延关系分为五种，其中的全异关系（外延不相交关系）又分为矛盾关系和反对关系。矛盾关系和反对关系实际上都是三个概念之间的关系：相对于C来说，如果A和B的外延之和等于C的外延，A和B就是矛盾关系，否则就是反对关系。（[12]，第39–41页）为方便，以下将C称为论域概念。

柏拉图的二分法中的两个概念是反对关系，不是矛盾关系。比如在“钓鱼人”的例子中，他将打渔分为两个主要类别，一种用网捕，一种靠打击（[8]，第8页）。这个二分只是打渔概念下的两个类别，还有其他类别。从例子看，柏拉图二分法是一种通过两个具有反对关系概念的对比来明确概念的方法，因此可以称为“正反二分法”。

亚里士多德对柏拉图二分法加以改造，提出具有矛盾关系的二分法。他在《工具论》中举例说明划分时，先将“动物”分为“有朽的”和“不朽的”，又将“有朽的动物”分为“有足的”和“无足的”。这是有明确论域概念的划分。此外亚里士多德还提出了“人”和“非人”，以及“白色木头”和“非白色木头”这样的划分。尽管这两个划分的论域概念是什么并不明确，但“非”表明由此得到的划分一定是矛盾关系。因为是矛盾关系，有别于柏拉图的正反二分法，在此我们将亚里士多德的这种二分法称为“正负二分法”。

为方便，以下将通过正负二分得到的两个类分别称为“正类”和“负类”。亚里士多德正负二分法的提出非常重要，其重要性之一在于提出了负类。对比生物学分类法，生物学分类的特点是，分类树必须与现实世界相符合，一个属之下有哪些种取决于实际情况，树中不能有那些在物种意义上不存在的类。用正负类的观点看，树中类首先必须是正类，而不能有负类，比如“非人”，其次还要看是否有相应的物种2另外，树中也不能有属性外延化的类，比如“白色的”。。从这个角度看，负类不是自然类，正负二分法也不是自然类的分类方法。

对此我们认为，正负二分实际上是思想上的划分，负类是思想类，相对于正类而言，具有否定因素。正是因为有了负类的否定性，同时也使得正类也具有了肯定性。由于正类和负类的这种矛盾关系，使得一旦有B作为正类是A的某个子类，在思想上也就相应地有负类（B的补）形成的逻辑二分，而不论这个负类是什么。因此可以说，生物学分类是关于世界的科学分类，正负二分是对思想类的逻辑划分。亚里士多德正负二分法暗含了肯定、否定，甚至真、假等因素，这些都是逻辑学的基本要素。亚里士多德是逻辑学的创始人，正是从这里开始，有了逻辑学的起步。

2 亚里士多德划分格

按现代逻辑方法，一个逻辑可以从语形和语义两个方面加以刻画，因此一个逻辑也可以从语形和语义两个方面加以考察。本文的重点是从语义方面考察亚里士多德逻辑。从划分理论出发就是语义的视角，基于亚里士多德的划分理论为亚里士多德逻辑构建语义结构和模型。从这方面看，如果要为亚里士多德逻辑提供语义结构和模型，那么这些语义装置应该能够处理亚里士多德所讨论的各种推理的例子。

从亚里士多德分类树开始。如果把亚里士多德分类树(TD,⊆)看作一个以生物类为摹本的偏序结构，对此可以认为，D是所有生物个体的集合，TD是D的部分子集的集合，⊆表达的是生物类之间的类属关系。在亚里士多德看来，事物中不仅有类属关系，事物本身还有各种属性。从属性出发，将属性外延化，会形成属性类，如白色的东西、冷血的东西等。亚里士多德的三段论有许多涉及到属性推理的例子。因此考虑亚里士多德逻辑，不仅要考虑以物种为背景的类，还要考虑属性类。例如，设(TD,⊆)是一个生物分类树。考虑对TD增加属性类，得到的集合记作这时的结构虽然还是一个偏序结构，但不再是一棵树。

同样，按亚里士多德三段论的例子，其中还有一些涉及到负词项的推理。负词项是表示负类的词项。基于亚里士多德正负二分法，对任意的正类，都有相应的负类。于是还需要对再加以扩张，对T∗D中的所有正类增加相应的负类。如此得到的集合记作相应地，有这样的结构。纯粹从集合论的角度看中的元素无所谓正类或负类，只有类及其补。直观上的正类和负类互为对方的补类。按代数理论，是一个有补格。一般地，设(TD,⊆)是一个亚里士多德分类树。穷尽所有D的子集形成的集合，即D的幂集℘(D)，由此可以得到结构 (℘(D),⊆)。(℘(D),⊆)是 (TD,⊆)的完全扩张，对此我们将(℘(D),⊆)称为亚里士多德划分格3按亚里士多德分类树和正负二分法的直观，似应该将(T,⊆)称为亚里士多德划分格更为合适。后面将证明，亚里士多德逻辑是(℘(D),⊆)这类结构上的逻辑，所以将此称为亚里士多德划分格。。对任意的亚里士多德分类树，通过扩张的办法，都可以得到一个亚里士多德划分格。

按代数理论，亚里士多德划分格就是有补分配格。所以要这么命名，在于强调这种结构与亚里士多德划分理论的关系。从柏拉图二分法，到亚里士多德分类树、正负二分法，再到这种有补分配格，“亚里士多德划分格”，带有这个理论发展过程的意味，是思想脉络的体现。亚里士多德时代还没有代数理论，他也不可能对这样的数学结构有明确的把握，但是从他讨论的问题看，事实上已经在面对这样一些相对具体或更为抽象的数学结构。

基于亚里士多德划分格可以看出亚里士多德理论关于负词项的一些问题。在语言中表示负类的词项是负词项。亚里士多德关于负类的讨论很大程度上依赖于对负词项的分析。亚里士多德在《解释篇》中提到了“非人（not man）”，将其称为不定名词（indefinite name）4“非人”（not man）不是名词，也不存在任何恰当的名词去言说这种非人的东西。它既非短语，也非否定。我们暂且称之为不定名词（indefinite name）。——《解释篇》。从亚里士多德举的例子看，负词项分为两种，一种是原子词项的负词项，如“非人”；一种是复合词项的负词项，如“非白色木头”。对于复合词项(P&Q)，有时“非”作用于整个词项，读作“非(P&Q)”，也有时作用于前一个词，读作“(非P)&Q”。这里的界线并不清楚，这是自然语言的模糊性导致的。

亚里士多德还结合句子讨论了负词项。他指出表达式“不是这样”（not to be this）和“是不–这样”（to be not-this）在意思上是不同的。比如，“它是非白色木头”与“它不是白色木头”这两个命题不能同时适于同一主体。如果它是非白色木头，它一定是木头，但不是白色木头的东西却不必然是木头（[18]，第178页）。这个例子表明，“x不是P”和“x是非P”是不同的。

•x是非白色木头，其中“非白色木头”按“(非白色)木头”理解，于是x还是木头。

•x不是白色木头，x是白色木头以外的东西，于是x是“非(白色木头)”中的东西。

从亚里士多德划分格(℘(D),⊆)看，白色木头∪(非白色)木头 = 木头⊆D，而对非(白色木头)来说，只能有，白色木头∪非(白色木头)=D。

这表明，负词项总是带有论域的。(非白色)木头以木头为论域，非(白色木头)以全域D为论域。一个负词项如果以D为论域，以下称为全域上的负词项；如果以D的真子集为论域，则称为相对论域负词项。

负词项论域的问题带来了换质法推理5换质法指的是，通过更换命题的质（肯定或否定）形成的推理，包括对词项做相应改变。例如，从“S是P”可以推出“S不是非P”，从“S是非P”可以推出“S不是P”等等。的复杂性。亚里士多德发现了这个问题，但是因为没有论域的概念，没有提出解决办法，于是干脆不提换质法。后来的传统逻辑增加了换质法。为使换质法成立，可以将换质法推理中的负词项理解为全域上的负词项。但是传统逻辑也没有提出论域的概念，这使得传统逻辑中的换质法推理仍然存在问题（[16]）。事实上，只要统一将负词项都视为全域上的负词项，换质法并无问题。后面我们将采用这一方法刻画亚里士多德逻辑。不足的是，既然亚里士多德提出了相对论域的负词项，如何处理这部分推理的逻辑，只能留待以后解决。

3 语言和语义

语言L

符号：(1)逻辑常项：A，E，I，O；(2)词项变元集；(3)负词项算子：−。

词项：(1)词项变元都是词项；(2)若x是词项，则x−也是；(3)只有以上这些是词项。

词项变元集记作Tm；词项的集合记作Term。语法符号x,y,z,...表示任意的词项变元，x,y,z,...表示任意的词项。

公式φ::=Axy|Exy|Ixy|Oxy

公式中在前的项叫作主项，在后的项叫作谓项。

定义1.设x和y是任意项，φ和ψ是任意L公式。

(1)Axy与Oxy为矛盾关系，Exy与Ixy为矛盾关系。

(2)如果φ与ψ为矛盾关系，则称φ为ψ的矛盾公式，ψ为φ的矛盾公式。φ的矛盾公式记为∼φ。

注意∼是语法符号，不是对象语言符号。例如，∼Axy就是Oxy，前者可看作后者为行文方便而采用的另一种记法。

根据布尔代数理论，任给非空集D，都可以得到一个有补分配格(℘(D),⊆)，即一个布尔代数，其等价形式为幂集代数 (℘(D),−,∩,∪,∅,D)（[9]，第 211 页）。为方便，以下用幂集代数作为语言L的语义结构。一个幂集代数以后也称为一个L结构。

定义 2.设AD=(℘(D),∩,∪,−,∅,D)是任意L结构。

(1)v称为AD上的指派，如果v是Tm到℘(D)−{D,∅}的映射。

(2)V称为(℘(D),⊆)上的赋值，如果V是Term到℘(D)−{D,∅}的映射：对

任意的项x∈Term，

–如果x∈Tm，则V(x)=v(x)；

– 如果x=y−，则V(x)=V(y−)=D−V(y)。

命题1.设x∈Term是任意词项。对结构上的任意赋值V,V(x−−)=V(x)。

证明.如果x∈Tm，不妨设x=x，根据定义，有V(x−−)=D−V(x−)=D−(D−V(x))=V(x)。如果x=y−，由归纳假设知，V(y−−=V(y))。根据定义，有V(x−−)=V(y−−−)=D−V(y−−)=D−V(y)=V(y−)=V(x)。

根据命题1，对任意的代数AD,AD上的赋值也是Term到℘(D)−{D,∅}的映射。

定义3.一个模型是一个二元组(AD,V)，其中AD是一个L结构，V是AD上的赋值。

定义4.设M=(AD,V)是任意模型，x,y是任意词项。

(1)M|=Axy，当且仅当，V(x)⊆V(y)；

(2)M|=Exy，当且仅当，V(x)∩V(y)=∅；

(3)M|=Ixy，当且仅当，V(x)∩V(y)̸=∅；

(4)M|=Oxy，当且仅当，V(x)̸⊆V(y)。

定义5.设Γ是任意的公式集。M|=Γ，当且仅当，对任意φ∈Γ,M|=φ。

定义6.设Γ,φ分别是任意的公式集和公式。φ是Γ的语义后承，记作Γ|=φ，当且仅当，对任意模型M，如果M|=Γ则M|=φ。

定义7.设φ是任意公式。φ是有效的，当且仅当，对任意模型M，都有M|=φ。

4 亚里士多德逻辑公理系统AS

公理

A1 AxxA2 Axx−−A3 Ax−−xA4 Exx−

初始规则

AAA-1 Ayz,Axy/AxzEE-换位律 Exy/EyxEA-换质律 Exy/Axy−

EAE-1 Eyz,Axy/ExzAI-换位律 Axy/IyxOI-换质律 Oxy/Ixy−

定义8.设Γ是任意公式集，φ,ψ是任意公式。称从Γ可推演φ，记作Γ⊢φ，若

(1)存在公式序列φ1,...,φn(=φ)，对任意φi（1≤i≤n），φi是公理，φi∈Γ，或者φi是由之前的公式经规则得到的。此时φ1,...,φn(=φ)称作一个从Γ到φ的推演；

(2)存在公式ψ，使得Γ∪{∼φ}⊢ψ且Γ∪{∼φ}⊢∼ψ。

定理1.Γ⊢φ，当且仅当，存在Γ的有限子集Γ0，使得Γ0⊢φ。

证明.

(1)若可推演关系如定义8-(1)定义，那么显然，Γ⊢φ，当且仅当，存在Γ的有限子集Γ0，使得Γ0⊢φ。

(2)若可推演关系如定义8-(2)定义，那么：

–如果Γ⊢φ，则存在ψ，使得Γ∪{∼φ}⊢ψ且Γ∪{∼φ}⊢∼ψ。由归纳假设知，存在 Γ∪{∼φ}的有限子集，使得⊢ψ。令 Γ0={χ|χ∈且χ̸=∼φ}，若∼φ∈，则= Γ0∪{∼φ}，故 Γ0∪{∼φ}⊢ψ；若∼φ̸∈，则= Γ0，由⊢ψ及归纳假设可得，Γ0∪{∼φ}⊢ψ。因此，存在Γ∪{∼φ}的有限子集Γ0∪{∼φ}，使得Γ0∪{∼φ}⊢ψ。同理可得，存在Γ∪{∼φ}的有限子集Γ1∪{∼φ}，使得Γ1∪{∼φ}⊢∼ψ。再次运用归纳假设，可得Γ0∪Γ1∪{∼φ}⊢ψ且Γ0∪Γ1∪{∼φ}⊢∼ψ。由定义8-(2)，Γ0∪Γ1⊢φ。故存在Γ的有限子集Γ0∪Γ1，使得Γ0∪Γ1⊢φ。

–如果存在Γ的有限子集Γ0，使得Γ0⊢φ，则存在ψ，使得Γ0∪{∼φ}⊢ψ且Γ0∪{∼φ}⊢∼ψ。由归纳假设知，Γ∪{∼φ}⊢ψ且Γ∪{∼φ}⊢∼ψ。因此，Γ⊢φ。

定理2.如果φ∈Φ，则Φ⊢φ。

证明略。

定义9.φ1,...,φn/φ是一个推演规则，如果{φ1,...,φn}⊢φ。特别地，当n=2时，φ1,...,φn/φ是一个导出的三段论规则，简称三段论规则。

命题2.AS有以下定理及导出规则：

证明.以下证明几个有代表性的定理及规则。

1.(1) Axx公理

(2) Ixx(1)AI-换位律

3.(1) Axy前提

(2) Axx公理

(3) Axy(1)(2)AAA-1

由推演定义知，Axy⊢Axy。因此，存在导出规则Axy/Axy。

5.(1) Axy前提

(2) Iyx(1)AI-换位律

(3) Ixy(2)I-换位律

由推演定义知，Axy⊢Ixy。因此，存在导出规则Axy/Ixy。

7.(1) Exx−公理

(2) Oxx−(1)EO-差等律

9.(1) Axy前提

(2) Eyy−公理

(3) Exy−(2)(1)EAE-1

由推演定义知，Axy⊢Exy−。因此，存在导出规则Axy/Exy−。

11.(1) Axy−前提

(2) Exy−−(1)AE-换质律

(3) Ayy−−公理

(4) Exy(3)(2)AEE-2

由推演定义知，Axy−⊢Exy。因此，存在导出规则Axy−/Exy。

命题3.AS有以下三段论规则：

证明.以下证明其中几个有代表性的规则。

1.(1) Azy前提

(2) Axz前提

(3) Axy(1)(2)AAA-1

(4) Ixy(3)AI-差等律

由推演定义知，Azy,Axz⊢Ixy。因此，存在三段论规则Azy,Axz/Ixy。

5.由EAE-2可得，{Ezy,Axy}⊢Exz，再由定理1知，{Ezy,Ixz,Axy}⊢Exz；由定理2知{Ezy,Ixz}⊢Ixz，再由定理1知，{Ezy,Ixz,Axy}⊢Ixz。根据定义8-(2)可得，{Ezy,Ixz}⊢Oxy。因此，存在三段论规则：Ezy,Ixz/Oxy。

11.(1) Azy前提

(2) Izx前提

(3) Ixz(2)I-换位律

(4) Ixy(1)(3)AII-1

由推演定义知，Azy,Izx⊢Ixy。因此，存在三段论规则Azy,Izx/Ixy。

21.(1) Eyz前提

(2) Axz前提

(3) Exy(1)(2)EAE-2

(4) Oxy(3)EO-差等律

由推演定义知，Eyz,Axz⊢Oxy。因此，存在三段论规则Eyz,Axz/Oxy。

传统逻辑中三段论四个格共24个正确的式全部可以得到证明。

5 可靠性和完全性

定理3.如果Γ⊢φ，那么Γ|=φ。

证明.

(1)若存在公式序列φ1,...,φn(=φ)，对任意的i,1≤i≤n,φi是公理，φi∈Γ，或者φi是由之前的公式经规则得到的公式。任给模型M=(AD,V)，如果M|=Γ，则对推演施归纳：

•若φ∈Γ，显然M|=φ。

•若φ是公理，

(i)如果φ=Axx：显然V(x)=V(x)，故有V(x)⊆V(x)，由定义4知，M|=Axx，即M|=φ；

(ii) 如果φ=Axx−−：由命题1知，V(x−−)=V(x)，显然，V(x)⊆V(x−−)，由定义4知，M|=Axx−−，即M|=φ；

(iii) 如果φ=Ax−−x：由命题1知，V(x−−)=V(x)，显然，V(x−−)⊆V(x)，由定义4知，M|=Ax−−x，即M|=φ；

(iv)如果φ=Exx−：由定义2知，V(x)∩V(x−)=V(x)∩(D−V(x))=∅，由定义4知，M|=Exx−，即M|=φ。

•若φ是由φi,φj经规则AAA-1得到的，不妨令φi=Azy,φj=Axz，则φ=Axy。由归纳假设知，M|=Azy且M|=Axz。根据定义4可得，V(z)⊆V(y)且V(x)⊆V(z)，显然V(x)⊆V(y)。再由定义4知，M|=Axy，即M|=φ。

•若φ是由φi,φj经规则 EAE-1得到的，不妨令φi=Ezy,φj=Axz，则φ=Exy。由归纳假设知，M|=Ezy且M|=Axz。根据定义4可得，V(z)∩V(y)=∅且V(x)⊆V(z)，显然V(x)∩V(y)=∅。由定义4知，M|=Exy，即M|=φ。

•若φ是由φi经规则EE-换位律得到的，不妨记φi=Exy，则φ=Eyx。由归纳假设知，M|=Exy。根据定义4可得，V(x)∩V(y)=∅，故V(y)∩V(x)=∅。再由定义4可得，M|=Eyx，即M|=φ。

•若φ是由φi经规则AI-换位律得到的，不妨记φi=Axy，则φ=Iyx。由归纳假设知，M|=Axy，则V(x)⊆V(y)。由于V(x)̸=∅，故存在a∈V(x)，所以a∈V(y),V(y)∩V(x)̸=∅。由定义4知，M|=Iyx，即M|=φ。

•若φ是由φi经EA-换质律得到的，不妨记φi=Exy，则φ=Axy−。由归纳假设知，M|=Exy，故V(x)∩V(y)=∅且V(x)̸=∅。任取(x)，可知(y)，即a∈D−V(y)=V(y−)。因此，V(x)⊆V(y−)，由定义4知，M|=Axy−，即M|=φ。

•若φ是由φi经OI-换质律得到的，不妨记φi=Oxy，则φ=Ixy−。由归纳假设知，M|=Oxy，故V(x)̸⊆V(y)，即存在a∈V(x)且(y)。由定义2-(2)可知，a∈D−V(y)=V(y−)。因此，V(x)∩V(y−)̸=∅，由定义4知，M|=Ixy−，即M|=φ。

(2)若φ是由定义8-(2)得到的，则存在ψ，使得Γ∪{∼φ}⊢ψ且Γ∪{∼φ}⊢∼ψ。假设M|=φ，则M|=∼φ，所以M|=Γ∪{∼φ}，由归纳假设知，M|=ψ且M|=∼ψ，即M|=ψ且M|斜体>=ψ。矛盾。所以M|=φ。

综上可知，M|=φ。因此，Γ|=φ。

定义10.Φ是一致的，当且仅当，不存在公式φ，使得Φ⊢φ且Φ⊢∼φ。

定理4.如果Γ̸⊢φ，则Γ∪{∼φ}是一致的。

证明.假设Γ∪{∼φ}是不一致的，那么存在公式ψ，使得Γ∪{∼φ}⊢ψ且Γ∪{∼φ}⊢∼ψ。由定义8-(2)可得Γ⊢φ，与Γ̸⊢φ矛盾。

定理5.Φ不一致，当且仅当，存在Φ的一个有限子集Ψ，使得Ψ不一致。

证明.设存在Ψ⊆Φ使得Ψ不一致，则存在公式φ使得Ψ⊢φ且Ψ⊢∼φ。由定理1知，Φ⊢φ且Φ⊢∼φ，故Φ不一致。反之，若Φ不一致，则存在公式φ使得Φ⊢φ且Φ⊢∼φ。由定理1知，存在Φ的有限子集Ψ，使得Ψ⊢φ且Ψ⊢∼φ，故Ψ不一致。

定义11.Φ是极大一致的，当且仅当，Φ是一致的，并且对任意公式φ，若Φ，则Φ∪{φ}是不一致的。

定理6.Φ是极大一致集，则φ∈Φ当且仅当Φ⊢φ。

证明略。

定理7.设Φ是极大一致集，则φ∈Φ当且仅当Φ。

证明.若Φ，假设∼φ∈Φ，则Φ⊢φ且Φ⊢∼φ，与Φ是一致的矛盾。若Φ，假设Φ，由定理6知Φ̸⊢φ。因此，Φ∪{∼φ}是一致的。由于Φ是极大一致集，故∼φ∈Φ，与Φ矛盾。

定理8.对任意公式集Φ，若Φ是一致的，则存在公式集Φ0,Φ⊆Φ0且Φ0是极大一致的。

证明.令∆={Ψ|Φ⊆Ψ⊆Form(L)，且Ψ一致}。由Φ是一致的可知，Φ∈∆，故∆非空。设B是∆中的一个非空链，令Ψ∗=∪B，可以证明Ψ∗是一致的。如果Ψ∗不一致，由定理5知，一定存在一个有限子集Ψ0⊆Ψ∗使得Ψ0不一致。因为Ψ0有限，且B是一个链，因此必有一个Ψ∈B，使得Ψ0⊆Ψ。又由Ψ0不一致，有Ψ不一致，与Ψ∈B⊆∆矛盾。所以Ψ∗是一致的。显然Φ⊆Ψ∗，故Ψ∗∈∆，因此∆的链的并还属于∆。由Zorn引理，∆中有一个极大元Φ0。显然Φ⊆Φ0，只需证明Φ0是极大一致的。又显然Φ0∈∆，故Φ0是一致的。设L公式φ̸∈Φ0，则Φ⊆Φ0∪{φ}，而且Φ0是∆中极大元，必有Φ0∪{φ}̸∈∆，因此只能是Φ0∪{φ}不一致。所以Φ0是极大一致的。

定义12.设Φ是任意公式集，T(Φ)={x|x是在Φ中出现的词项}。对任意项x,x是Φ的原子项，当且仅当，x∈T(Φ)，且任给y∈T(Φ)，如果Φ⊢Ayx，则y=x。

Φ的所有原子项的集合记作AT(Φ)。

定义13.任意公式集Φ称“包含证据”集，当且仅当，(1)对任意Ixy型公式，如果Φ⊢Ixy，则存在z∈AT(Φ)使得Φ⊢Azx且Φ⊢Azy；(2)对任意Oxy型公式，如果 Φ⊢Oxy，则存在z′∈AT(Φ)使得 Φ⊢Az′x且 Φ̸⊢Az′y。

引理1.任意一致集都可以扩充为“包含证据”的一致集。

证明.任给一致的公式集Φ，(1)对每个形如Ixy的公式，引进一个Φ中未出现过的全新词项变元zIxy，令φIxy=AzIxyx,ψIxy=AzIxyy。(2)对每个形如Oxy的公式，引进一个Φ中未出现过的全新词项变元zOxy,φOxy=AzOxyx,ψOxy=EzOxyy。令Ψ= Φ∪{φIxy,...,ψIxy,...,φOxy,...,ψOxy,...}，则Φ⊆Ψ。可证，Ψ就是“包含证据”的一致集。

引理2.任意极大一致集都是“包含证据”集。

证明.假设极大一致集Φ不是“包含证据”集。由于Φ是一致的，由引理1，可以将Φ扩充为“包含证据”的一致集Ψ。由于Φ是极大一致的且Φ⊂Ψ，故Ψ不再一致，矛盾。

引理3.设Φ是极大一致集。对任意项x∈T(Φ)，都存在原子项y∈AT(Φ)，使得Φ⊢Ayx。

证明.已证Ixx是定理，显然，Φ⊢Ixx。由引理2知，Φ是“包含证据”集，所以存在y∈AT(Φ)使得Φ⊢Ayx。

引理4.设Φ是极大一致集。对任意项x∈T(Φ)和原子项y∈AT(Φ),Φ⊢Ayx当且仅当 Φ̸⊢Ayx−。

证明.设Φ⊢Ayx，假设Φ⊢Ayx−，由导出规则AAI-3可知，Φ⊢Ixx−；而⊢Exx−，与Φ是一致集矛盾。

设Φ̸⊢Ayx−，假设Φ̸⊢Ayx，由定理6和定理7，得Φ⊢Oyx且Φ⊢Oyx−，由OI-换质律得，Φ⊢Iyx−且Φ⊢Iyx−−，即Φ⊢Iyx−且Φ⊢Iyx。由引理2，Φ是“包含证据”集，所以存在z∈AT(Φ)使得Φ⊢Azy且Φ⊢Azx−，存在z′∈AT(Φ)使得 Φ⊢Az′y,Φ⊢Az′x。由于y是原子项，所以y=z=z′，所以Φ⊢Ayx−,Φ⊢Ayx，由导出规则AAI-3，Φ⊢Ixx−；而⊢Exx−，与Φ是一致集矛盾。

定义14.设Φ是极大一致集，则幂集代数(℘(AT(Φ)),∩,∪,−,∅,AT(Φ))称为典范结构。

引理 5.设 (℘(AT(Φ)),∩,∪,−,∅,AT(Φ))为一个典范结构，令函数Vc:T(Φ)→℘(AT(Φ)),Vc(x)={z∈AT(Φ)|Φ⊢Azx}，则Vc是(℘(AT(Φ)),∩,∪,−,∅,AT(Φ))上的赋值，称作典范赋值。

证明.证明Vc的定义满足赋值定义的条件。

(1)若x是词项变元：

(i)证Vc(x)̸=∅。由引理3，存在原子项y∈AT(Φ)，使得Φ⊢Ayx，所以y∈Vc(x)。故Vc(x)̸=∅。

(ii) 证Vc(x)̸=AT(Φ)。假设Vc(x)=AT(Φ)，则对任意原子项y∈AT(Φ)都有Φ⊢Ayx，即不存在原子项z∈AT(Φ)使得Φ⊢Azx−，与引理3矛盾。故Vc(x)̸=AT(Φ)。

(2)若x=y−：证

–任给z∈Vc(x)，则z是原子项且Φ⊢Azy−。由引理4知，Φ̸⊢Azy，故z̸∈Vc(y)。因此，z∈AT(Φ)−Vc(y)。所以Vc(x)⊆AT(Φ)−Vc(y)。

–任给z∈AT(Φ)−Vc(y)，则z是原子项且 Φ̸⊢Azy。由引理4知，Φ⊢Azy−，故z∈Vc(y−)=Vc(x)。所以AT(Φ)−Vc(y)⊆Vc(x)。

定义 15.设 Φ 是极大一致集，(℘(AT(Φ)),∩,∪,−,∅,AT(Φ))是典范结构，Vc是(℘(AT(Φ)),∩,∪,−,∅,AT(Φ))上的典范赋值，则 ((℘(AT(Φ)),∩,∪,−,∅,AT(Φ)),Vc)称典范模型。

定理9.如果Φ是一致的，那么Φ是可满足的。

证明.由定理8知，Φ可以扩展成极大一致集Φ0。

考虑典范模型Mc=((℘(AT(Φ0)),∩,∪,−,∅,AT(Φ0)),Vc)。任给φ∈Φ0，由定理6知Φ0⊢φ：

(1)φ形如 Axy：Vc(x)={z∈AT(Φ0)|Φ0⊢Azx},Vc(y)={z∈AT(Φ0)|Φ0⊢Azy}，所以任给z∈Vc(x)，都有Φ0⊢Azx，而Φ0⊢Axy，由初始规则AAA-1可知，Φ0⊢Azy，所以z∈Vc(y)，所以Vc(x)⊆Vc(y)，所以Mc|=Axy。

(2)φ形如Exy：假设Vc(x)∩Vc(y)̸=∅，取z∈Vc(x)∩Vc(y)，则Φ0⊢Azx且Φ0⊢Azy，由导出规则AAI-3可知，Φ0⊢Ixy。由Φ0的一致性知，Φ0̸⊢Exy，与Φ0⊢Exy矛盾。所以Vc(x)∩Vc(y)=∅，故Mc|=Exy。

(3)φ形如Ixy：根据引理2知，Φ0是“包含证据”集，所以存在z∈AT(Φ0)，使得Φ0⊢Azx且Φ0⊢Azy，所以z∈Vc(x)∩Vc(y)，故Vc(x)∩Vc(y)̸=∅，故Mc|=Ixy。

(4)φ形如Oxy：根据引理2知，Φ0是“包含证据”集，所以存在z∈AT(Φ0)，使得Φ0⊢Azx且Φ0̸⊢Azy，所以z∈Vc(x)且z̸∈Vc(y)，故Vc(x)̸⊆Vc(y)，故Mc|=Oxy。

综上，任给公式φ∈Φ0，总有Mc|=φ，因此Mc|=Φ0，所以M|=Φ，即Φ可满足。

定理10.如果Γ|=φ，那么Γ⊢φ。

证明.反证法。假设Γ̸⊢φ，由定理4可知，Γ∪{∼φ}是一致的。再由定理9知，Γ∪{∼φ}是可满足的。即存在模型M，使得M|=Γ且M|=∼φ，这与Γ|=φ矛盾。

6 再看亚里士多德逻辑

亚里士多德三段论有鲜明和几乎完美的形式特征，自成一体，所以长期以来，人们对于亚里士多德逻辑的看法主要聚焦于三段论。逻辑学的产生也以三段论的提出为标志。

在《工具论》中，按照亚里士多德本人的说法，这个逻辑共有3个格，14个正确的式，每个式由三个句子组成，涉及三个词项，并且每个句子都是主谓句。亚里士多德之后，传统逻辑的研究者在此基础上增加了第4个格，并补全了前两个格中的弱式，共得24个正确的式。形成了传统逻辑中的三段论。6张家龙（[19]）认为后人增补的第4格并不符合亚氏本意，亚氏三段论应该有3个格36个式。这个观点的理由是，亚里士多德的三个格是按照前提中大、小项和中项的相对位置区分的。大、小项相对位置固定，大项总在小项之前，只有中项的位置发生变化，因此只能有三种情况：大—中—小，中—大—小和大—小—中，恰好对应亚氏所说的三个格，不可能存在第四格。我们认为，《工具论》中描述第二格和第三格时确是依照前提中三个项的相对位置确定大、中、小项，按照结论中的主项和谓项区分大小项是后人的做法，因此，张家龙的方式可能更接近亚氏原意。

数理逻辑产生后，逻辑学的视野得到了突变式的提升，逻辑学家在数理逻辑的理论和技术的基础上对三段论开展了新式研究，提出了多种有关的成果和看法。

首先是从演算的视角出发，对亚里士多德三段论的形式化的公理系统研究。从亚里士多德开始，就认为他的三段论可以以AAA-1和EAE-1作为公理推出其他正确格式，并给出了一定意义上的证明。尽管亚里士多德的公理化并不是严格意义上的公理化，人们普遍认为《工具论》中已经存在公理化的思想。严格意义上三段论公理化的研究是在数理逻辑产生之后。许多逻辑学家以数理逻辑的理论和技术研究三段论，建立了相应的形式化系统。在这一方面，卢卡希维茨最早给出了一个刻画三段论的公理系统，这个系统中可以推出三段论所有的正确的式（[13]，第110–113页）。库车拉（Franz Kutschera）提出可以用一阶语言表示亚里士多德的直言命题，并且证明了三段论正确的形式都是一阶逻辑的有效式。（[15]，第160–161页）

其次是从语义的视角出发的研究。对此德国逻辑学家肖尔兹（HeinrichScholz）认为亚里士多德逻辑是一种类的逻辑。（[11]，第34页）塔斯基主张类似观点，认为“整个旧的传统逻辑几乎可以完全简化为类与类之间的基本关系的理论，即是说，简化为类的理论中的一个小部分”（[14]，第73–74页）。韦德伯格（Anders Wedberg）首先使用类的方法来研究亚里士多德逻辑。德国逻辑学家迈纳在《逻辑和存在》和《三段论研究的一些成果和它们的哲学意义》中提出了研究三段论的一些类演算方法，并构造了一个形式化的三段论公理系统。（[15]，第172–175页）

另外还有综合系统和语义的研究，以符合亚里士多德原意为标准。在这方面，John Corcoran（[2,3]）和Timothy J.Smiley（[7]）等人的研究似乎更接近亚氏三段论的原意。从系统的角度来看，他们认为亚氏三段论逻辑本身就是根本的，不预设其他逻辑。Corcoran和Smiley各自独立地给出了相应的自然推演系统。从语义的视角来看，他们接受肖尔兹、塔斯基等的主张，认为亚氏三段论是关于类的逻辑，并且给出了简单的语义解释，证明了系统的完全性和可靠性。

以上这些研究各有优劣，从不同的侧面解释了亚里士多德的逻辑。从技术的观点看，基于数理逻辑的研究都可以得出亚里士多德逻辑是一阶逻辑的子逻辑这个结论。这个结论虽然并没有错，但是没有说明亚里士多德逻辑的特点，也不能揭示亚里士多德逻辑的思想和理论渊源。本文从亚里士多德划分理论开始，对亚里士多德逻辑进行了进一步探讨。在形式系统方面，用尽量接近亚里士多德逻辑原本所用的语言，给出形式系统AS。在语义学方面，用划分理论解释亚里士多德逻辑的思想来源。从柏拉图二分法到亚里士多德分类树、亚里士多德正负二分法，然后提出亚里士多德划分格的概念，最后以亚里士多德划分格为模型，证明了AS的可靠性和完全性，从而说明了亚里士多德逻辑是亚里士多德划分格上的逻辑。

亚里士多德划分格以自然类树为基底，带有自然类树的特征，由此带来了亚里士多德逻辑的特点。例如，亚里士多德作为三段论公理的AAA-1和EAE-1，可以分别理解为，枝上节点种属关系具有传递性，以及不同枝的种属关系不窜枝。再如，自然类树上要求各自然类存在，这导致了亚里士多德逻辑要求主项非空。

不过，亚里士多德划分格并不仅仅限于自然类树。从自然界中看出自然类的树(TD,⊆)是科学，由此可以得到相应的自然律。要得到自然类的树上的逻辑，还需要将(TD,⊆)加以完全扩张，加入自然界不存在的类，得到相应的思想结构(℘(D),⊆)，由此得到相应的逻辑律，这是逻辑学。亚里士多德对于动植物分类有深入研究。在此基础上，他对于自然类树背后的结构也有一定的认识。三段论中的命题不局限于科学分类的类，还包括属性外延化的类以及负词项对应的类。但是，亚里士多德的认识仍是不充分的，他对科学分类树的依赖要大于思想分类。这表现在对负词项或负类的处理上，因为没有明确的论域概念，所以没有形成完整的理论。囿于历史局限，亚里士多德本人并没有从(TD,⊆)得到(℘(D),⊆)，但这不妨碍从他的理论中看到亚里士多德划分格的存在。

因为主谓句句式的特点，三段论具有格和式这种特殊的形式。三段论的格具有简明、“对仗工整”的特点，长期以来为人们所关注。因此，研究者们对于亚里士多德逻辑的研究也主要集中在三段论上，热衷于讨论三段论究竟应该是几个格几个正确的式，怎样才是亚里士多德的原意，而对于直接推理都有不同程度的忽略。其实从亚里士多德划分格看，直接推理和三段论推理是一个整体，相应的逻辑律都是划分格模型上保真的规则。因此，亚里士多德逻辑既包含三段论，也包含二段论（直接推理）。从推演序列看，二段、三段都是“归纳基始”：任意有穷长序列都可以归约为二段、三段推理。我们可以对这些规则通过增加各种条件，如大项、小项和中项的相对位置等，得到14、24或36个正确形式，但这些不过是根据不同的语形限制确定了不同的规则集，从本质上说，它们都是同一个逻辑的子部分。

综上所述，对于“亚里士多德逻辑”可以有以下几种理解：

亚氏逻辑1亚里士多德本人给出的逻辑。

直接推理：换位法；三段论：三个格，14个正确的式。

亚氏逻辑2传统逻辑的补充后的逻辑。

直接推理：换位法，换质法；三段论：四个格（原有三个格+第四格），24

个正确的式。

亚氏逻辑3基于数理逻辑理解的亚里士多德逻辑。

亚里士多德逻辑是一阶逻辑的子逻辑。

亚氏逻辑4基于亚里士多德概念理论理解的亚里士多德逻辑。

亚里士多德逻辑是亚氏划分格上的逻辑。

从技术的角度看，亚里士多德划分格与幂集代数无异，因此在这一点上“亚氏逻辑4”与“亚氏逻辑3”的理解相同。但是，“亚里士多德划分格”显示了亚里士多德逻辑的思想来源，并且更具体地说明了这是一个什么“子逻辑”。

7 结语：亚里士多德逻辑素描

亚里士多德说：“首先，我们必须阐明探究的主题以及探究的内容：主题是证明，内容是对证明的理解。我们首先要说明我们研究的对象以及这种研究属于什么科学：它所研究的对象是证明，它归属于证明的科学。”（[18]，第83页）注意这时还没有“逻辑”一词，也没有“逻辑学”。虽然没有名称，但是可以看出，亚里士多德心目中的逻辑学是一门什么学科。他要为科学研究提供证明的理论或工具，这就是他建立这门“科学”的目的。

亚里士多德时代的科学是早期科学，其中一项重要的内容是生物分类学。亚里士多德在自己的动植物分类研究中修改了柏拉图二分法，提出了亚里士多德分类树。对柏拉图二分法更重要的提升是，相对于柏拉图的正反二分法，亚里士多德提出了正负二分法。正负二分法意味着从世界事物的划分上升到思想类的划分，这是逻辑学的起点。

亚里士多德分类树和正负二分法的结合形成了亚里士多德划分格。这个划分格是思想的结构，不是世界事物的结构。正是因为思想结构的提出，逻辑学才成为可能。亚里士多德逻辑是这个思想结构的规律。从这一点看，亚里士多德逻辑并不限于三段论，而应该是二段论、三段论共同形成的逻辑。但是受历史限制，亚里士多德本人并非对这些都有清楚的意识。例如正负二分法的论域问题，一直是困扰亚里士多德的重要问题。以至于他虽然提出了负词项，也做了一些相关讨论，但却不得不放弃换质法。

亚里士多德逻辑究竟是什么逻辑？从亚里士多德划分格提供的图景看，亚里士多德因为对一些问题在思想上不够清晰，所以他本人的逻辑（亚氏逻辑1）不够完整，像是一幅没有全部完成的画。亚氏逻辑2在形状上有补充，但是并没有真正解决亚氏逻辑1遇到的问题。亚氏逻辑3从技术的观点看到达了实质，但是从思想渊源看仍然缺少这种逻辑的理由和根据。对此，我们提出了亚氏逻辑4，亚里士多德逻辑是亚里士多德划分格上的逻辑。