测量设备无关条件下三粒子量子态的 纠缠目击形式

王安康

（北京邮电大学理学院，北京 100876）

0 引言

量子纠缠[1]是量子信息处理应用优于经典计算的关键资源[2]。故从理论和实践的角度看，它的表征和验证均是量子信息科学中的关键问题。一般的纠缠目击方法对测量设备的要求极高，由于实验室中测量设备不完美，很容易把可分态误判为纠缠态[3-6]，进而造成很大的损失。在设备无关场景[7-8]下，对设备没有任何要求，它利用Bell 实验，基于Bell 不等式的违背，来验证测量系统共享量子态之间的关联性。但由于Bell 实验需要类空间隔，并对整个实验的效率要求极高，因此在实际操作中并不好实现。为了更好地解决这个问题，Busemi[9]提出了所有的纠缠态在半量子非局域场景（相比Bell 场景下的经典比特输入，这里采用的是可信量子态的输入）下都是非局域性的，这在Bell 场景是无法实现的。例如，两粒子量子态-Werner 态[10]

1 测量设备无关条件下三粒子量子态的纠缠目击

1.1 一般纠缠目击形式

对于一般的纠缠目击[14-15]，即对于任意的纠缠态ρABC，有哈密顿操作W使得tr(Wρ)＜0，然而对于任意的可分态σABC，有哈密顿操作W，使得tr(Wσ)≥0恒成立，如此的W （一般称为纠缠目击）能用于探测量子态是否纠缠。由于实际实验室中测量设备不完美，存在统计数据的偏差以及来自第三方的恶意窃听等，所得到的W 一般都有很大的误差导致tr(Wρ)的误判，从而错误的判定可分态σABC为纠缠态ρABC。

1.2 测量设备无关条件下三粒子的纠缠目击形式证明

1.2.1 可信量子态输入与W 的关系

为了避免因测量设备的缺陷所导致的误差，Branciard 等人提出了在半量子非局域场景下，基于测量设备无关条件的纠缠目击形式。即使在测量设备不完美的条件下仍然可以正确判断测量设备之间共享的是可分态还是纠缠态。半量子非局域场景使用真实可信且信息完备的量子态输入代替经典比特的输入，考虑三粒子量子态ρABC作用在希尔伯特空间上，其中。令W为探测纠缠态ρABC的纠缠目击形式，又量子态的张量形式可以表示整个希尔伯特空间，故W 可以表示为量子态的线性组合形式，即

其中βstu是实数，并且它们分别对应的是的一组基。

1.2.2 三粒子量子态下的概率表示形式

接下来我们证明三粒子形式的测量设备无关纠缠目击形式。即对于纠缠目击形式：

对于任意的可分态σABC恒成立，但是对于纠缠态ρABC,I(P)＜0。已知在测量设备无关条件下，测量系统Alice，Bob，Charlie 分别执行测量操作，输出经典结果a，b，c，其中，统计概率表示为

1.2.3 LPP 映射原理

根据LPP 映射原理[14,16]，对于任意的纠缠态ρABC，存在一个正映射（但不是完全正映射）Λ，使得不是正的，因此至少存在一个特征值所对应的特征向量，记为定义为Λ的对偶映射，对于所有的线性操作A ,B有成立。对于哈密顿操作，满足

1.2.4 纠缠态在纠缠目击形式下的表达

此时对应的纠缠目击形式为

因此，我们可以得出在Alice，Bob，Charlie 之间共享纠缠态时，对应的测量设备无关纠缠目击形式I(P)＜0成立。

1.2.5 可分态在纠缠目击形式下的表达

假设Alice，Bob，Charlie 共享的量子态为是可分态σABC，根据可分态的定义，可以写成如下的形式[17,18]

因此对于任意的测量算子作用在可分态上，可以表示为

其中Πabc是测量系统Alice，Bob，Charlie 输出的经典结果所对应的POVM 测量，并且

因此，

最终我们利用LPP 映射原理，证明了基于三粒子量子态下的测量设备无关纠缠目击形式， 这对于拓展到共享多粒子下的测量设备无关纠缠目击形式具有非常重要的意义。

2 三粒子量子态在测量设备无关条件下具体的纠缠目击形式

接下来我们用详细的例子来说明，基于三粒子量子态的测量设备无关条件下的纠缠目击具体表达形式。

对于含噪声的三粒子量子态-W[17]态，

其中的系数βstu是实数，具体形式可以表示为：

至此，我们以含噪声的三粒子W态为例，详细说明了在测量设备无关条件下纠缠目击的形式。此外在运用MATLAB 进行线性方程求解的过程中，充分运用了AX=B的求解方式，其中A 表示的是三个量子态的张量形式，即

X的表示如下：

3 结论

根据LPP映射原理，对可分态与纠缠态分别进行纠缠目击形式的分析讨论，最终我们给出了三粒子量子态下的测量设备无关纠缠目击形式的具体证明过程，并且对于给定的含噪声形式的三粒子量子态W态，给出了详细的测量设备无关纠缠目击形式构造过程，这对于拓展到多粒子量子态下的测量设备无关纠缠目击形式具有重大的意义。此外，受Busemi所提出的所有纠缠态都是非局域的启发，是否可以研究测量设备共享的三粒子量子态下的随机性，值得进一步思考。