具有随机扰动的三种群系统的动力学行为

李海红，李海霞

(1.吉林建筑大学基础科学部，吉林 长春 130118；2.长春光华学院商学院，吉林 长春 130033)

英国动物学家埃尔顿于1927年首次提出食物链的概念，它是整个生物种群间相互作用的生成元素.如果一个物种灭绝，就会破坏整个生态系统的平衡，因此食物链模型的研究对整个自然环境的保护有很重要的影响.

本文研究的受扰动三种群食物链系统可表示为

(1)

在系统(1)中引入随机扰动，得到如下随机系统：

(2)

其中Bi(t)(i=1，2，3)是相互独立的标准布朗运动.

1 系统(2)全局正解的存在唯一性

P{τk≤T}≥ε.

(3)

V(x1，x2，x3)=b32[b21(x1-1-logx1)+b12(x2-1-logx2)]+b23b12(x3-1-logx3).

显然当u>0时，u-1-logu≥ 0，由此可知函数V是非负的.由伊藤公式可得

dV=LVdt+b32b21σ1(x1-1)dB1(t)+b32b12σ2(x2-1)dB2(t)+b23b12σ3(x3-1)dB3(t).

其中

从而

对上式两端取期望得

(4)

V(x(τk，ω))≥k-1-log(k)∧k-1-1+log(k).

于是由(4)式可得

其中1Ωk表示Ωk的特征函数.

令k→∞得到矛盾，从而τ∞=∞ a.s..结论证毕.

2 系统(2)的P阶矩有界性

E[(b32b21x1(t)+b32b12x2(t)+b23b12x3(t))p]≤K(p)，∀t∈(0，∞)，p>1.

证明令y(t)=b32b21x1(t)+b32b12x2(t)+b23b12x3(t)，则

且

注意到

则

因此

由比较原理可得

由于E[yp(t)] 是连续的，故存在正常数K(p)使得

E[yp(t)] ≤K(p)，t∈[0，∞).