也谈无理方程的解法

卢永

[摘   要]无理方程的解法主要有观察法、直接平方法、挽元法、配方法等.抓住方程特点，实施恒等变形是解无理方程的关键.探讨无理方程的解法，可以激发学生的学习兴趣，提高他们的解题能力.

[关键词]无理方程;解法;探讨

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0014-02

我们知道，根号下含有未知数的方程称为无理方程.虽然，在初中阶段，对无理方程的要求不高，只要求学生掌握含有一个根号的无理方程的解法.但在高中数学学习中经常会遇到一类较为复杂的无理方程.因此，掌握求解无理方程的一些技巧很有必要.教师传授学生无理方程的解法，不仅能拓宽他们的知识面，更能激发他们的学习兴趣，提高他们的解题能力.那么，无理方程有哪些解法呢？

一、观察法

数学解题离不开观察，善于观察，才能获得最优的解法.无理方程的解法也是如此，对于某些无理方程，若按部就班地进行求解，往往会寸步难行.但若改变策略，从观察方程中的未知数的取值范围入手，则可直接判定方程无解.

[例1]解方程 [4x-9-4-x=1].

解析：要使[x-9]有意义，必须x≥9;要使[4-x]有意义，必须x≤4.显然不存在同时满足这两个条件的[x]值.故此方程无解.

点评：对于带多个根号的无理方程，可以通过求未知数的取值范围来缩小解的范围，这对无理方程无解的判断，特别有效.

二、直接平方法

通过将原方程合理移项，直接两边平方，将无理方程转化为有理方程来解，这是解无理方程最通用的方法.但必须注意根的检验，以排除增根.两边平方可能扩大未知数的取值范围.

[例2]解方程 [22x-4-x+5=7].

解析：移项得[22x-4=7+x+5]，两边平方并整理得[x-10=2x+5] ，再两边平方并整理得[x2-24x+80=0] .解得[x=20] 或[x=4].经检验，[x=4]是增根.所以，原方程的解为[x=20].

点评：含一个根号的无理方程，一般可通过一次两边平方将其转化成整式方程.含有两个根式的无理方程，一般需通过两次平方才能转化成整式方程.但最后都必须检验所得的根是否为增根.

三、换元法

当无理方程中有一部分含有未知数的项相同时，可将这部分看成一个整体，利用换元法将方程转化为有理方程来解.

[例3]解方程 [x+2x-1+x-1x+2=103] .

解析：因为[x+2x-1]与[x-1x+2]互为倒数，故设[t=x+2x-1]，则原方程为[t+1t=103]（[t>0]）.解得[t=3]或[t=13] ，所以[x+2x-1=3]或者[x+2x-1]=[13] .

解得[x=118] 或者[x=-198] .

经检验[x=-198]是增根，所以原方程的解为[x=118].

点评：换元法是解无理方程的主要解法之一，体现了数学解题的整体思想，可以起到化复杂为简单的作用.但利用换元法一定要注意新元的范围.如本例中[t>0] .

四、利用非负数的性质

当无理方程中含有多个根式时，有时可以利用根式的非负性轻松获解.在初中数学中，二次根式和完全平方式是最常见的非负代数式，它们往往是解无理方程的“突破口”.

[例4]解方程[x+y-1+z-2=12（x+y+z）] .

解析： 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的.将原方程变形为[x+y+z-2x-2y-1-2z-2=0]，配方得[（x-1）2+（y-1-1）2+（z-2-1）2=0]，利用非负数的性质得[x=1，y-1=1，z-2=1]，所以[x=1，y=2，z=3].经检验，[x=1，y=2，z=3]是原方程的根，所以原方程的根为[x=1，y=2，z=3].

点评：求解这类问题关键是配方.配方具有一定的隐蔽性，在求解时，需仔细观察方程的结构特征，挖掘方程中含有的配方信息.

五、利用比例性质

有些无理方程给出的形式比较特别，当无理方程以比例式的形式出现时，可考虑是否可以利用比例的有关性质加以转化.

[例5]解方程[x+2a-x-2ax-2a+x+2a=x2a] .

解析：对于形式为比例式[AB=CD]的方程，如果方程的一边或两边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程.根据合分比定理得[x+2a-x-2a=x+2ax-2a]，两边平方得[x+2ax-2a=x2+4ax+4a2x2-4ax+4a2]，再用合分比定理得[x2a=x2+4a24ax]，化简得[x2=4a2].解得[x=±2a].经检验，[x=±2a]是原方程的根，所以原方程的解为[x=±2a].

点评：比例性质主要包含合比定理和分比定理.运用定理的目的是尽量减少方程中的根号.对于以比例式的形式给出的无理方程，利用比例性质来解往往事半功倍.

六、配方法

配方法作为数学解题的最基本的方法之一，有着广泛的应用.配方的目的是整体换元.因此，它往往与换元法“相伴而行”，它们的目的一致，都是将原方程简化.

[例6]解方程 [x+x+2+2x2+2x=4-2x].

解析：注意到[x？x+2=x2+2x]，于是原方程可化为[（x+2x2+2x+x+2）+（x+x+2）-6=0].即[（x+x+2）2+（x+x+2）-6=0]，

所以[（x+x+2-2）（x+x+2+3）=0].因为[x+x+2+3>0]，所以[x+x+2-2=0]，移项得[x-2=-x+2]，解得[x=14]，经检验[x=14]是原方程的根，所以原方程的根为[x=14].

点评：本题配方的目的是将原无理方程变形成两个无理式的乘积形式.这类问题的变形，对学生的能力要求较高，要求学生学会合理拆分，合理搭配.

七、多次换元法

对于含有多个根式的无理方程，当常规方法无法求解时，一般可采用特殊的方法.如可根据根号下的多项式之间的关系，采用多次换元法，从而将根号去掉，化为有理方程.

[例7]解方程[2x2-1+x2-3x-2=2x2+2x+3] [+x2-x+2].

解析：我们注意到[（2x2-1）-（x2-3x+2）=（2x2+2x+3）-（x2-x+2）]，则可设

[u=2x2-1，v=x2-3x-2]，

[w=2x2+2x+3，t=x2-x+2].

则[u2-v2=w2-t2]， ① [u+v=w+t].  ②

因为[u+v=w+t=0]无解，

①÷②得[u-v=w-t]. ③

②+③得[u=w]，即[2x2-1=2x2+2x+3].

解得[x=-2].经检验，[x=-2]是原方程的根，所以原方程的根为[x=-2].

點评：遇到这类问题时，先别急着下笔，可细心观察各个根号里面的多项式之间的内在联系，然后再“对症下药”.

从以上几例无理方程的解法可以看出，抓住方程特点，实施恒等变形是解题的关键.至于选择何种方法，应具体问题具体分析，选择合适的方法才最有效.

（责任编辑 黄桂坚）