黎曼猜想在整数分布中的一个应用

李宇芳,姚维利

(上海大学理学院,上海200444)

1 引言及主要结论

上式描述了素数的大致分布情况,被称为素数定理.该定理是整个数论中的核心结果之一,在数论中起到了奠基作用,也有很多种等价形式[1],在很多领域都非常有应用价值[2].例如:在数学方面,可以估计随机取得的整数n是素数的概率为1/logx;在计算科学方面,是试除法中检验一个数是否为素数的关键计算步骤之一;在密码学方面,1978年,麻省理工学院(Massachusetts Institute of Technology,MIT)3个计算机科学家Rivest,Shamir和Adleman提出了第一个实用公钥密码——RSA密码体制.该密码体制就是基于素性检测和整数分解,其安全性依赖于大整数素数分解问题的困难性.

记ω(n)是正整数n的不同素因子的个数,特别地,ω(1)=0.令

定义

式(1)被称为广义的素数分布函数,因此很多数论学者对其进行了研究.比如,在1909年,Landau[3]首先证明了对k≥1有

之后,Sathe[4]和Selberg[5]改进了这个结果,得到当1≤k≤C loglogx时,

这里

目前,较好的结果是由Hildebrand等[6]提出的,即存在常数ρ,δ使得当

其中

1859年,黎曼提出如下猜想:ζ(s)的非显然零点都落在临界线Res=1/2上,即著名的黎曼猜想,其在数论中有着举足轻重的地位.

本工作主要研究具有固定素因子个数的整数分布情况,探讨了黎曼猜想对其渐近式中误差项的影响.为了方便表达,引入如下记号,设s=σ+it,0＜ε＜1/logx,

定理1 在黎曼猜想下,设C为正常数,当x≥3,1≤k≤C loglogx时,有

其中

注1:由文献[4-5],有

其中

因此,本工作重点是得到式(2)中误差项的估计.

注2:应用黎曼猜想,素数定理可加强[7-8]为

2 预备知识

为了定理的证明,下面给出以下3个引理作为预备知识.

绝对收敛.

证明 参见文献[9].

引理2 由文献[10]中的定理11.7,假设∑f(n)n-s对σ＞σa绝对收敛,如果f是积性函数,则有

引理 3 (Perron公式)设x≥2,记‖x‖为x和离其最近整数之间的距离,则当b＞σa,T ≥ 2有

证明 参见文献[7]中的定理1.

3 定理的证明

下面给出定理的证明.由fk(n)的定义和留数定理有

其中r＞0为常数.上式两边对n求和,得到

因为zω(n)为积性函数,所以由引理2可知,当Re s＞1时,

根据引理3,式(3)中的和式可表示成

其中

为了估算式(4)中的余项,取

由于|z|=r,所以

因此式(4)第一个余项

因为

由Euler积分公式可知

所以式(4)第二个余项

根据式(5),式(4)最后一个余项

综上可得,

所以式(4)可化简为

由于

由于

根据黎曼猜想,ζ(s)的非显然零点都落在临界线Re s=1/2上,s=1为唯一的极点.所以可以利用留数定理建立围道,将式(7)主项的积分区间转化到C-3∪C-2∪C-1∪C0∪C1∪C2∪C3上,即

其中

不难看出,在C-1∪C0∪C1上的积分可取为主项,其余为余项(见图1).

图1 围道Fig.1 Contour

接下来,首先计算C3∪C-3部分的积分.根据文献[11]中的定理4.2,

因为

因此

下面估算C2∪C-2部分的积分,因为对t≥2,参考文献[2],有

所以

由此

所以

下面考虑C2∪C-2中0＜t＜2的情况.当0＜t＜2时,由ζ(s)的定义和其解析性可知,ζ(s)有界.根据文献[12]中的注1.5.3,ζ(s)在0＜ t＜ 2内没有零点,所以必然有界.由式(10)及以上说明可知,

综上,根据式(7),(9),(11)可得

将式(12)代回式(3)可得

由于式(5)及

式(13)中的误差项

综上,

其中

定理1证明完毕.