基于Allee效应的麦蚜种群捕食-食饵模型的分析与控制

赵晓月，赵立纯,，刘静娜，王 欢

(1.辽宁师范大学 数学学院,辽宁大连 116029;2.鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

群居有利于物种的生长和存活，但过分稀疏和过分拥挤都可阻碍其生长，从而对物种的生长繁殖产生副作用，每一物种都有自己最适宜的密度，这就是所谓的Allee效应[1].植物、哺乳动物、海洋无脊椎动物等产生Allee效应现象,该现象一直是生态学和保护生物学的一个研究热点.近年来，具有Allee效应的物种捕食模型被广泛研究.魏雪莹等人研究了麦蚜种群模型的突变控制，利用控制器使麦蚜种群的数量下降[2].李文霞、许洪建等人建立了食饵含Allee效应的最优捕获模型，利用Pontryain最大值原理确定了最优捕获策略[3].付晓阅、刘超等人建立了具有Allee效应的食饵-捕食模型，分析了各平衡点的局部渐近稳定性，通过构造Lyapunov函数分析了平衡点的全局渐近稳定性[4].上述文章从理论上对具有Allee效应的捕食-食饵模型进行分析和研究，而在麦蚜生态系统的应用很少见.因此本文将具有Allee效应的麦蚜种群作为食饵得到麦蚜种群的捕食模型，借助微分方程定性理论和Hopf分岔理论[5,6],对平衡点的稳定性进行分析，然后通过状态反馈控制消除Hopf分岔抑制了麦蚜种群的突变现象.

1 模型建立

考虑具有Allee效应的logistic模型[7]

(1)

其中，x为种群密度，r为种群的内禀增长率，K为其环境容纳量，A为其阈值密度.

(2)

其中，0

食饵-捕食模型中，食饵种群可能受自身繁殖或被捕食者的影响而具有Allee效应.当食饵种群具有Allee效应时，食饵-捕食模型可能失去稳定性而产生突变现象.由于麦蚜种群会产生突变现象从而可以用Allee效应刻画麦蚜种群的增长.在logistic模型[8]的基础上得到模型如下：

(3)

设y(t)表示t时刻麦蚜天敌种群的密度，d为麦蚜天敌种群的死亡率，结合模型(3)得麦蚜种群食饵-捕食模型

(4)

其中，b是天敌种群的捕食率，c是转化系数，a,b,c,d均为正数.

转化系数c在麦蚜种群中起着重要作用，因此视其为模型(4)中Hopf分岔分析的主要参数.随后对模型(4)进行定性分析.

2 模型分析

为了方便起见，令

f(x,y)=x[a(k-x)(x-k0)]-bxy，g(x,y)=cxy-dy，

则模型(4)变为

(5)

下面讨论各个平衡点的稳定性：

相应的特征方程为

特征根为

且

3 控制器设计

(6)

对模型(6)，如果自然界中的天敌种群不能达到调节麦蚜种群密度的目的，可以通过人工捕获麦蚜的方式控制麦蚜种群密度.相应的控制模型如下：

(7)

其中，k1是人工捕获麦蚜种群的捕获效率.

相应的特征根为

根据Hopf分岔理论，得如下定理1.

从而可得

(8)

根据式(8)可知，随着捕食效率k1的增大，模型(7)的转化数c将增大，即Hopf分岔的临界点将延后，由于转化系数c的改变使得麦蚜种群的增长速度渐缓，即使有Hopf分岔引起的突变现象发生，但其发生的时间延迟.综合上述得如下定理2.

定理2对模型(7)，如果控制

4 数值仿真

对定理1，取k0=100,k=2 900,a=0.000 01,b=7,c=0.000 1,d=0.15,得状态反馈控制增益k1=0.8，其时间响应图见图1.

图1 定理1 中模型控制前后时间响应图

比较图1中的两图可以看出，通过人工捕获不仅消除麦蚜的突变现象，而且使麦蚜生态系统中的麦蚜种群数量保持在不损害作物的水平.

对定理2，取k0=100,k=2 900,a=0.000 01,b=5,c=0.000 2,d=0.3,得状态反馈控制增益k1=7.2,其相应的时间响应图见图2，图3.

图3 定理2中模型控制后时间响应图

比较图2和图3的局部图，对于控制前的麦蚜生态系统，在t≈5时蚜虫种群开始出现Hopf分岔导致的突变现象；对于控制后的麦蚜生态系统，在t≈10时蚜虫种群开始出现Hopf分岔导致的突变现象.这说明通过人工捕获可以使突变现象发生延迟，这对于处在灌浆期的麦田生态系统有着重要的意义.

本文采用两种控制方法，使麦蚜种群的突变现象消失.由仿真结果可知定理1的控制效果比定理2的控制效果好，但是在具体实施的过程中外界因素可能会对控制产生影响，所以要根据具体情况采用不同的方法进行控制.