分离诚可贵 转化价更高*—对《分离ln x 法解一类函数问题》的补遗

江西省萍乡中学(337000) 黄贤锋

文[1]提出,对于函数模型“f(x)=p(x)lnx+q(x)+r”通常可以采用分离lnx法解决,即通过等价变形,将lnx前的系数变为常数,然后构造新的函数进行研究,使问题变得简洁.笔者读后深受启发,同时也激发了研究的兴趣.于是在历年的高考题里寻找相关问题进行验证,笔者发现文[1]中的分离lnx法并不能很好地解决下面的问题.现摘录于下：

一、分离遇阻

例1 (2014 全国I 卷理21 题节选)证明：exlnx+

解析按照文[1]的方法,原问题转化为证明lnx-e-x+令做到此处,我们发现,导函数比较复杂,不能很好地求出可疑点,也无法判断分母的符号.此时我们的分离lnx法遇到了挑战.为了更好地解决这个问题,笔者决定还是从文[1]中找寻答案.

下面,我们回顾文[1]的几个例题.

问题1 (2010 高考全国卷I 理科第20 题节选)证明：f(x)=(x-1)[(x+1)lnx-x+1]≥0.

问题2 (2011 高考全国卷I 文科第21 题节选)证明：当x＞1 时,

问题3 (2016 高考全国卷II 文科第21 题节选)若当x ∈(1,+∞)时,(x+1)lnx-a(x-1)＞0,求a的取值范围.

对于问题1,当x＞1 时(x≤1 的情形类似,此处省略),分离lnx,只需证明对左式求导得导函数对于问题2,当x＞1 时(x＜1 的情形类似,此处省略),分离lnx,只需证明对左式求导得导函数对于问题3,分离lnx,只需探究时,a的取值范围,对左式求导得导函数

可以发现文[1]的三个例题,在分离lnx后,求导所得的导函数比较“简单”(只需研究二次函数),这也正是分离lnx法最大的优势所在.而例1 在分离lnx,求导后所得的函数比较复杂,要判断导函数的正负,需要研究超越方程,这正是我们无法用lnx分离法解决例1 的原因.

二、转化出奇

人们认识事物的过程就是一个从陌生到熟悉的过程,数学解题也是如此,简而言之,就是将陌生的,复杂的问题转化为熟悉的,简单的甚至是已经解决的问题.

容易发现,在例1 中导致导函数复杂的主要原因是原问题中的“ex”,于是,我们想将其转化为简单函数.结合f(x)中的项想到利用常用不等式“ex≥ex”进行放缩,原问题转化为证明下面给出具体证明.

证明令g(x)=ex-ex,则g′(x)=ex-e,当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)单调递增; 当x＜1 时,g′(x)＜0,g(x)单调递减.则g(x)min=g(1)=0,故ex≥ex当且仅当x=1 时不等式取等号.因此令则当时,h′(x)＜0,h(x)单调递减;当时,h′(x)＞0,h(x)单调递增,则h(x)min=当且仅当时取等号.由于两个等号不能同时取到,不等式得证.

三、应用举例

例2 (2016年高考山东卷理科第20 题节选)证明：当x ∈[1,2]时,f(x)=x+

解析本题lnx前面的系数已经是常数,求导可得如果要解决这个问题,下面将要研究一个四次函数,这导致我们的解题无功而返.类似地,我们想要导函数变得比较简单,需要对原问题进行适当转化.观察f(x)的结构,容易联想到不等式lnx≤x-1,原问题转化为证明不等式下面给出具体证明.

证明首先证明不等式lnx≤x-1(过程略),则f(x)≥令则g′(x)=令g′(x)=0,解 得(舍).则g(x)在(1,x1)单调递增,在(x1,2)单调递减.则g(x)min=min{g(1),g(2)}=g(2)=0,由于两个等号不能同时取到,故不等式得证.

总之,分离lnx法可以使这类数学问题变得相对简洁,当分离lnx后得到的问题仍然比较复杂时,我们可以想办法将问题转化为一个熟悉的,容易解决的问题.有的时候一次转化还不能解决问题,此时,我们可以考虑连续转化,比如下面的问题：

练习(2016年高考辽宁卷理科第21 题节选)已知证明：当0＜x＜2 时,