Purcell模型与Thomeer模型相结合的高精度渗透率模型研究

汤潇 张超谟 周文银

摘      要： 碳酸盐岩储层孔隙结构复杂，渗透率建模困难。相比于孔隙度，通过对压汞资料分析的一些孔隙特征和孔隙系统结构信息，例如最大孔喉半径与渗透率关系更为紧密。用压汞资料评价渗透率，最早是Purcell在1949年首次提出的，后来被Thomeer，Swanson等人深化。基于Purcell渗透率模型，在Thomeer研究的基础上，利用数学推理，在不经过岩心拟合孔隙度和排驱压力参数的情况下，推导了出一种新的预测碳酸盐岩的渗透率模型。随机选取中东地区H油田孔隙类型为单峰和双峰的碳酸盐岩岩样各50块，应用到Thomeer模型，Swanson模型和新模型中。分析了孔隙类型为单峰和双峰两种模态下三种渗透率模型的计算误差，结果表明，在单峰情况下，新模型與其他两种经典模型相比，结果有明显改善;在双峰情况下，新模型与其他两种经典模型相比，精度也有一定的提高。

关  键  词：碳酸盐岩;渗透率;压汞参数;Purcell模型;Thomeer模型

中图分类号：TE122.2+3       文献标识码： A       文章编号： 1671-0460（2019）12-2934-05

Abstract： The pore structure of carbonate reservoirs is complicated， which makes the modeling of permeability difficult. Some of the pore characteristics and pore system structure information can be analyzed by the mercury injecting capillary pressure data （MICP）， for example the maximum pore throat radius is closely related to the permeability. The use of MICP data to evaluate the permeability was first proposed by Purcell in 1949 and later improved by Thomeer， Swanson et al. Based on Purcell permeability model and Thomeer's research， a new permeability prediction model for carbonate rocks was derived by mathematical reasoning without core fitting parameters of porosity and displacement pressure. The permeabilities of randomly selected 50 monomodal and 50 bimodal carbonate rock samples from H oil field in the Middle East were calculated by Thomeer model， Swanson model and new model. Error analysis of the calculation results of three models for monomodal and bimodal pore system was carried out，respectively. The results showed that under monomodal condition， the results of the new model were obviously better than those of the other two classical models， and the accuracy of the new model was also higher than those of the other two classical models in the case of bimodal.

Key words： Carbonate; Permeability; Mercury injection parameters; Purcell model; Thomeer model

中东地区80%的油气产自碳酸盐岩储集层[1，2]。但碳酸盐岩的孔隙结构复杂，孔喉分布不均，非均质性强，孔隙系统复杂且呈多个模态[3-5]，使得渗透率评价困难。研究表明：孔隙结构控制着储层渗透率[6，7]，由于压汞毛管压力曲线可以很好的表征储层孔喉的大小及分布，因此，利用压汞实验数据预测渗透率是渗透率评价中常见的一种思路。主要分为两类：

孔隙半径法：依据压汞曲线的特征对应的孔喉半径联合或特定的孔喉半径建立与渗透率的关系。比较有代表性的有：Purcell认为毛管压力曲线上对应的连通孔喉都对岩石的渗透率有贡献，将∫_0^1?〖1/〖P_c〗^2  dS_w 〗作为渗透率贡献的一个重要因子[8];Swanson认为双对数坐标下毛管压力曲线上的拐点处，即人的提Swanson参数，对渗透率有主导作用[9];Katz和Thompson认为毛管曲线开始端顶点对应连通孔喉网络中的最大孔喉半径与渗透率关系密切[10];Kolodzie等认为依据压汞曲线不同累积饱和度下对应的孔喉半径例如R10、R35、R50等可以用来评价渗透率[11-15]。

函数法：对压汞曲线进行拟合，提取的拟合参数用来评价渗透率。例如Thomeer函数和Brooks-Corey方程等[16-18]。Thomeer将毛管压力曲线抽象为一个双曲线方程，并建立了拟合参数与渗透率的关系。Huet等在Brooks-Corey拟合方程的基础上建立了渗透率与束缚水、孔隙度等参数的关系。

碳酸盐岩结构复杂，孔隙半径法并不能反应孔隙半径分布的均匀程度和大小对渗透率的影响，函数法虽然能在一定程度上反应非均质性，却忽视了半径对渗透率的主导贡献。笔者拟在半径法的基础上，结合函数法，推导出一种新模型，并通过研究区大量的压汞、及岩心物性分析资料，分析模型的适用性，以此来提高储层渗透率的预测精度。

1  研究区概况

研究区是H油田的M层组，地理上位于中东伊拉克东南部（图1），沉积于白垩纪中晚期，主要岩石类型包括颗粒灰岩、泥粒灰岩、粒泥灰岩、介壳类漂浮岩等[19]，属于比较纯净的石灰岩储层。研究区孔隙结构复杂，一块岩样可能存在两套孔隙系统[5]，在孔喉频率分布上表示双峰（图5a）。随机选取研究区压汞实验测量后孔喉分布为单峰和双峰的样品进行孔隙度、渗透率实验测量，孔渗关系见图2。单峰模态的岩心孔隙度分布在0.06～0.30，渗透率在0.013～459.226 mD;双峰模态的岩心孔隙度分布在0.03～0.28，渗透率分布在0.021～393.039 mD。

2  模型选择

孔喉半径法中，Swanson，R35等都代表一种特定的优势半径，这种优势半径能够反应岩石的渗流能力。但是，这种单一孔径的渗透率模型只有对孔喉分布均匀，连通性好，孔隙系统单一的岩石具有好的效果，对复杂的碳酸盐岩适用性有限。Purcell模型是建立在达西渗流理论和泊肃叶方程的基础上的理论模型，其积分因子∫_0^1?〖1/〖P_c〗^2  dS_w 〗考虑了所有半径对渗透率的贡献。函数法中，Thomeer函数的三个参数排驱压力、孔隙体积和形态因子一直被广泛应用在中东碳酸盐岩测井评价中，所以考虑结合Thomeer函数与Purcell模型。

2.1  Purcell 模型

3  Thomeer曲線拟合

参数提取之前需要进行麻皮校正（图4b，图5b），麻皮校正是校正压汞曲线在刚开始处出现的不规则的凹槽现象[20]。研究采用阻尼牛顿迭代算法，编写拟合毛管压力曲线程序，功能包括麻皮校正、曲线拟合，参数提取。图4和图5展示了单峰、双峰样品的拟合效果图。黑色虚线是原始曲线，红色实线是经过麻皮校正后的毛管曲线，黑色圆圈虚线是Thomeer模型拟合曲线，绿色表示麻皮校正的大小（图4b，图5b），左侧为岩心对应的孔喉分布 （图4a，图5a）。由图可知，拟合曲线基本上能和经过校正后的曲线完全重合。

提取上述50块单峰的Thomeer参数（Pd1、Bv1和G1），50块双峰的Thomeer参数（Pd1、Pd2、Bv1、Bv2、G1和G2）。通过统计每个压力下对应拟合的Bv的均方跟误差值来进行误差分析，见图6。由图可知，单峰的误差值96%在0.8以下，大部分在0.6以下;双峰的误差值96%在0.6以下，绝大部分在0.4以下。说明提取的参数精度高，能够反映孔隙结构。

5  效果分析

对参数提取之后的单峰、双峰岩心样品分别进行渗透率评价，依次用Thomeer模型，Swanson模型和P_T模型进行计算。

单峰情况下，由图9可知，P_T模型的整体精度要优于Thomeer模型和Swanson模型。按渗透率的大小将50块单峰岩样分成5个区间（见表2），样品编号为1～50，Thomeer模型各个区间均方根误差分别为：33.15%、35%、24%、34%、23%。总均方根误差为30%。Swanson模型各个区间均方根误差分别为：21.00%、46%、25%、36%、23%。总均方根误差为32%。P_T模型各个区间均方根误差分别为：19.73%、26%、15%、27%、8%。总均方根误差为21%。Swanson模型和Thomeer模型在各个区间均方根误差各有好坏，而P_T模型在每个区间的均方根误差都比其他模型小，说明P_T模型在单峰情况下精度要优于其他2种模型。分析原因：Bv是岩石进汞的体积，不妨假设Bv等于φ，但是2008年Clerke文章中的实验数据表明，Bv略大于孔隙度，对于这个现象目前没人能给出准确的结论[4，25]，Bv毕竟是一个数学上的拟合参数，物理意义还有待考证，P_T模型用更能反映岩石孔隙体积的孔隙度参与渗透率的预测，理论更加严谨;Swanson模型只考虑了优势孔径对渗透率的影响，没有考虑到孔隙度与渗透率的关系，当孔喉大小分布不均时，P_T模型更能反映岩石的渗流能力。

双峰条件下，尽管P_T模型是在基于单峰的公式，由图9可知，P_T模型还是要比其他两种模型精度要高。这是因为，当孔隙系统为双峰时，根据上诉所说，Swanson模型对这种孔隙系统复杂的碳酸盐岩适用性要比单峰情况下低的多;Thomeer模型也是基于单峰提出公式，对双峰并不适用。同样将50块双峰岩样分成5个区间（见图2），样品编号为51～100，Thomeer模型各个区间均方根误差分别为：38.71%、88%、47%、70%、64%。总均方根误差为67%。Swanson模型各个区间均方根误差分别为：53.96%、80%、49%、72%、47%。总均方根误差为64%。P_T模型各个区间均方根误差分别为：33.18%、65%、25%、30%、22%。总均方根误差为41%。P_T模型在渗透率为0～1 mD精度与其它两种模型相差不大，在其他区间，P_T模型的均方根误差远远小于其他两种模型。这是由于在低渗情况下，孔隙结构更加复杂。

6  结论

（1）中东地区碳酸盐岩孔隙系统复杂，存在孔喉分布为双峰的情况，Swanson等单一孔径模型和Thomeer函数经验模型适用性较差。

（2）结合Purcell模型和Thomeer方程，经过数学理论推导，提出了新的预测碳酸盐岩渗透率模型P_T，并将新模型应用到研究区100块岩样。误差分析的结果表明，相比于Swanson模型和Thomeer模型，P_T模型精度明显改善。

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