非接触型平面涡卷弹簧的研究

梁东升,曾鹏飞,刘双杰,郝永平,尹艳超

(1.沈阳理工大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110159；2.沈阳理工大学 装备工程学院，辽宁 沈阳 110159)

广泛应用于机械行业的平面涡卷弹簧是一种用细长等截面材料在平面上绕制成的螺旋状弹簧.平面涡卷弹簧一般在机构中提供反作用力矩，也可储存能量而作为机构中原动机使用.平面涡卷弹簧根据相邻各圈之间是否接触，可分为接触型平面涡卷弹簧和非接触型平面涡卷弹簧.非接触型平面涡卷弹簧在工作中各圈均不接触，常用来产生反作用力矩.如钟表游丝；而接触型平面涡卷弹簧在工作时相邻各圈互相接触，圈数较多，可以储存较大的能量，作为各种机构的原动机使用，如钟表机构的发条[1].

目前对非接触型平面涡卷弹簧的研究较少，尤其是对于圈数小于3的小型平面涡卷弹簧的研究更少.Kroon R P等研究了圈数较少非接触型平面涡卷弹簧的力学性能，得出当圈数少时，平面涡卷弹簧不再只受弯矩作用，弹簧各截面不仅受弯矩而且受轴向力和径向力作用的结论[2].陈志方针对平面涡卷弹簧在微电机应用中存在的问题，提出了相应的设计原则、步骤及计算公式[3].孙伟等利用遗传算法进行风力发电机械储能平面涡卷弹簧的优化设计，并用实例证明其优化方法使涡卷弹簧的工作性能有了进一步提高[4]；Tang J Q和段巍等分别基于弹性储能技术和有限元模拟仿真方法，进行平面涡卷弹簧的模态分析，为平面涡卷弹簧结构设计和动力学分析提供了参考[5-6].Chen J S等根据弹性理论对平面涡卷弹簧的变形与振动进行研究，运用静态理论分析了载荷与挠度之间的关系，并通过振动分析研究了临界角与刚度之间的关系[7].Duan W等基于Adams柔性体理论研究具有恒定角速度的平面涡卷弹簧的扭矩变化，绘制了其特征曲线和弹簧储能曲线[8].此前的相关研究主要集中于对接触型和尺寸较大且满足国标适用范围的平面涡卷弹簧的设计计算和仿真分析，而缺乏对少圈非接触型平面涡卷弹簧的深入研究，也未曾提出相应的优化设计方法.

本文针对反作用力矩装置中使用的少圈非接触型平面涡卷弹簧(以下简称涡簧)建立模型、进行柔性体仿真和实际测量，提出一种非接触型平面涡卷弹簧的优化设计方法.

1 涡簧的理论分析

根据反作用力矩装置对涡簧的空间限制，首先按照国标中设计公式对涡簧进行初步计算，并对其进行仿真优化，然后对达到设计要求的涡簧进行测量验证，最终设计出满足一定性能要求的反作用力矩装置的涡簧.涡簧的优化设计流程如图1所示.

图1 涡簧的优化设计流程

平面涡簧一般按中华人民共和国机械行业标准-平面涡卷弹簧进行设计计算.该标准适用于矩形截面材料，厚度h=0.5～4 mm，宽度b=5～80 mm的平面涡簧[9].

受涡簧安装空间的限制，少圈非接触型平面涡簧的宽度b≤3.5 mm，显然不在国家标准对宽度的适用范围中.为了探讨国标设计公式对少圈非接触型平面涡簧设计的影响，可先按照国标关于涡簧的设计公式进行初步计算.

涡簧的变形角为：

(1)

式中：K1为系数，外端固定时K1=1，外端回转时K1=1.25；T为扭矩值；l为涡簧的工作长度；E为涡簧材料的弹性模量.

涡簧的刚度：

(2)

涡簧的工作圈数为：

(3)

涡簧的工作长度为：

(4)

涡簧的节距为：

(5)

式中：R1为涡簧的内半径；R为涡簧的外半径.

根据反作用力矩装置中涡簧安装空间的限制，安装高度即涡簧的宽度不能超过3.5 mm，直径不能超过13 mm.因此，设计涡簧时，其宽度初步选择3.5 mm.考虑到厚度、圈数、节距对涡簧直径的影响，其厚度越厚，圈数越多，节距越大，涡簧的直径就越大.此外，应保证设计的涡簧便于加工.初步选取的涡簧参数如表1所示.

表1 初步选取的涡簧参数

根据式(1)可计算出涡簧在100°预紧角下产生的扭矩值，T=39.8 N·mm.

2 涡簧的建模仿真及优化设计

2.1 涡簧的建模仿真

根据阿基米德螺旋线，可建立平面涡簧曲线的圆柱坐标参数方程，即：

(6)

式中：t∈[0,1]；α为涡簧起始转角.

根据表1对平面涡簧圆柱坐标参数方程的参数进行设定，并画出图2所示的涡簧三维几何图.

为保证分析结果的准确性，将涡簧装配在图3所示的简化后反作用力矩装置(包括涡簧、外壳、中心体三部分)上.

图2 涡簧三维几何图

图3 反作用力矩装置的三维装配图

根据反作用力矩装置中涡簧的运动，定义各零部件之间的运动副，设置地面与中心体的固定副、涡簧与中心体的固定副、涡簧与外壳的固定副(图4).

图4 用仿真软件定义的反作用力矩装置的运动副

对涡簧进行柔性体仿真时，涡簧柔性体共生成5 056个节点、13 652个单元.

给外壳施加100°/s的匀角速度时，3圈涡簧在外壳带动下扭矩随转角的变化曲线(又称刚度曲线)如图5所示.

在理论上，涡簧的刚度曲线是一条直线，把涡簧的每一圈都理想化，相互不接触，没有摩擦，扭矩随着长度方向的均匀变形而均匀增加，刚度曲线的斜率(即刚度)为一个恒定值.而仿真中涡簧旋转初期，3圈涡簧的外层在圏与圈的节距空间内旋转，与理想情况的变形基本一致，刚度曲线呈线性或近似线性变化；当旋转到一定程度时，涡簧各圈逐渐卷紧，变形已不再均匀，刚度曲线由之前的线性或近似线性变为渐增型.

从仿真结果看，涡簧预紧100°后扭矩未达到设计要求，因此需要对涡簧进行优化设计.

图5 3圈涡簧扭矩随转角的变化曲线

2.2 涡簧的优化设计

根据国标中涡簧各参数的定性关系可知，在涡簧宽度不变的情况下，增加厚度、减少圈数都可增加涡簧预紧后扭矩.从方便加工考虑，本文通过柔性体仿真对涡簧的厚度和圈数等相关设计参数进行了优化.涡簧宽度选择3.5 mm.其厚度、长度和圈数对应预紧100°的理论扭矩和仿真扭矩如表2所示.选择5组尺寸(序号1～序号5)的涡簧进行仿真，所得涡簧的刚度曲线如图6所示.

表2 涡簧尺寸与预紧100°后理论扭矩和仿真扭矩的对应关系

图6 5组涡簧的仿真刚度曲线

由图6可以看出，修正涡簧的厚度、长度和圈数，可以改变其预紧后扭矩和涡簧的刚度；4号和5号两条仿真曲线对比表明，增加涡簧的厚度可显著增大其刚度.

通过仿真优化，可在反作用力矩装置的尺寸条件下设计出满足预紧后扭矩要求的少圈非接触型平面涡簧.

3 实际测量及其结果分析

对优化后涡簧进行加工和实验测量.涡簧材料为60Si2MnA热处理弹簧钢带Ⅲ级.涡簧与其夹具体的装配实物照片如图7所示.使用扭矩测量仪可测得优化后涡簧的刚度曲线(图8).

图7 涡簧与其夹具体的装配实物照片

图8 优化后涡簧的刚度曲线

为便于对比分析，对优化后少圈非接触型平面涡簧的刚度进行实际测量、理论计算和仿真模拟，其结果如图9所示.

图9 优化后涡簧的实测、理论与仿真刚度曲线对比

分析认为，理论计算与实测值不一致的原因在于：国标中平面涡簧的计算公式大都是基于理论假设和有条件实验而近似推导的，在弹簧圈数小于3时，理论分析的受力形变与实际形变相比误差较大，实际的弹簧运动情况与假设的理想情况并不完全一致.

柔性体仿真与实测值不完全一致的原因在于： 涡簧的仿真网格类型及单元尺寸划分等的不同对仿真结果有一定的影响； 涡簧的实际加工误差会导致仿真与实测的偏差.

涡簧的仿真刚度曲线与实测刚度曲线均表现为，起初呈线性变化，之后改为斜率逐渐增大的渐增型曲线.这是因为起初外壳带动涡簧外层圈在圏与圈的节距空间内旋转，外层圈只受径向力和轴向力的作用而发生变形，涡簧的形变均匀；当涡簧旋转到一定程度时，其全长方向均发生变形，各圈所受径向力和轴向力大小不等而导致涡簧的形变不均匀，使得刚度曲线由之前的线性或近似线性变为渐增型.

对比可知，优化后涡簧在预紧100°后仿真扭矩与实测扭矩的偏差为11.4%，理论值与实测值的偏差为24.6%.

在综合考虑涡簧加工工艺误差后，通过柔性体仿真优化分析，完成了满足反作用力矩装置要求的少圈非接触型平面涡簧的设计.

4 结束语

以反作用力矩装置中少圈非接触型平面涡卷弹簧为研究对象，提出了少圈非接触型平面涡卷弹簧的仿真优化设计方法.对少圈非接触型平面涡卷弹簧建立模型，进行了柔性体仿真优化设计.通过理论计算、仿真分析、实际测量，对优化设计的涡簧刚度曲线进行了分析.研究表明，通过优化设计，少圈非接触型平面涡卷弹簧能够满足反作用力矩装置的性能要求.