基于能量法推导控制饱和多孔介质变形的孔压系数*

荣雪宁， 徐日庆， 王明洋, 3， 戎晓力

(1.南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京 210094；2.浙江大学 滨海和城市岩土工程研究中心，浙江 杭州 310058；3. 陆军工程大学 爆炸冲击防灾减灾国家重点实验室，江苏 南京 210007)

含有水分的土壤和岩石是典型的多孔介质，其受力变形和连续固体有很大的区别.即便受到相同的外界压力(总应力)，多孔介质的变形在排水条件不同时也有很大差异.因而一般认为多孔介质的变形并不由总应力控制，而是由抽象的有效应力决定的.Terzaghi最早基于实验数据将有效应力定义为总应力与孔隙水压力的差值[1]：

σ′=σ-u.

(1)

早期实验研究认为，Terzaghi有效应力在计算颗粒状材料(如饱和土)的受力变形时是适用的.而对连续性较好的岩石和混凝土材料，Terzaghi有效应力则很大的误差[2].另一方面，有效应力公式的理论基础没有得到很好的解决.Skempton认为，Terzaghi有效应力显然是在一些假设上得出的近似公式，而不太可能是一个完备的理论公式[3].进一步的研究认为控制变形的有效应力公式可扩展为以下形式[2,4-5]：

σ′=σ-ηu，

(2)

式中，η为孔压系数.Terzaghi公式中孔压系数η恒等于1，是广义公式中的一个特例.然而对于广义公式中的孔压系数，各个研究给出的公式都不相同[2]，很可能各个公式是在不同的隐含假定下得出的.

为考察η=1是在何种基本假定下得出的，本文基于能量原理重新推导了控制多孔介质变形的有效应力公式.尽管有效应力公式最初是在饱和颗粒介质中提出，有效应力公式的推导却与固体骨架的形态无关.这一推导对颗粒介质和具有连通孔隙的固体骨架都是适用的.从应用上来看，有效应力公式也不仅用于饱和土；对于具有连通孔隙的饱和岩石、混凝土等多孔材料，实际控制变形的应力与固体中的应力明显不同，这些情况下有效应力公式也具有实用价值.此外还应该指出，本文仅讨论控制饱和多孔介质变形的有效应力，不考虑控制强度准则(即破坏条件)的有效应力.

1 基于能量原理推导有效应力公式

控制变形的有效应力可通过多孔介质变形时的能量变化导出.图1分析了饱和多孔介质的单元体在总应力σ和孔压u作用下的变形情况.为便于分析体积变化，假定单元体的边界不排水，液体从图1中的细管中排出，管中的液体压力即为孔隙水压力u.注意图1分为两种受力情况：图1(a)为各向同性压缩；图1(b)为单轴压缩.故图1(a)和图1(b)分别讨论了控制体应变和线应变的有效应力.

当饱和多孔介质的单元体被少量压缩时，由能量守恒可得：

dWT+dWL=dES+dEL.

(3)

式中：dWT为总应力做功；dWL为液体压力做功；dES为固体骨架变形的能量增量(包括固体中储存的弹性能和摩擦耗散的热能)；dEL为液体压缩导致的能量变化.

如图1(a)所示，受到各向同性压缩的单元体，记6个表面的位移为ds(压缩变形时ds为正).则总应力对该单元体做功可表示为：

dWT-isotropic=6σAds，

(4)

式中：σ为总应力；A为单元体每个表面的面积.

如图1(b)所示，单轴受压的单元体，仅有一个表面发生了位移，总应力做功可表示为：

dWT-uniaxial=σAds.

(5)

如果用体积变化计算总应力做功，则(4)式和(5)式可以统一写成

dWT=σdV.

(6)

式中，dV为固体骨架的体积变化(包括固相的体积和骨架中的孔隙体积).显然对于各项同性压缩的情况，dV=6Ads；对单轴压缩则有dV=Ads.因而这两种受力状态下用体积变化表示的总应力做功是相同的.

对图1所示的两种受力情况，液体压力对这一饱和系统做功可表示为

dWL=-uadL，

(7)

式中：u为孔隙水压力；a为排水管的截面积；dL为液体沿管路排出的长度.排水时液体流动方向与截面受到的液体压力方向相反，故孔压做功为负值.式(7)也可以用体积参数表示为：

dWL=-udVF.

(8)

式中，dVF为液体流出单元体的体积(dVF=adL).注意式与排水管的具体尺寸无关.

由于有效应力决定了固体骨架的变形，也决定了骨架变形时的能量变化.式(3)右侧的第一项可以表示为：

dES=σ′dV.

(9)

液体压缩时的能量变化可表示为：

dEL=udVL.

(10)

式中，dVL为液相的体积变化(以压缩为正).如果液体是不可压缩的，则有dEL=dVL=0.

将式(6)，(8)，(9)，(10)代入能量守恒方程，可将式(3)重新写成

σdV-udVF=σ′dV+udVL.

(11)

为明确控制变形的有效应力方程究竟与何种条件有关，进一步讨论分成以下三种情况：(a) 两相介质中的液相和固相都是不可压缩的；(b) 液相可以压缩，而固相不可压缩；(c) 固相和液相都可以压缩.显然真实材料的固相和液相都是可以压缩的，即属于情况(c).由于对于饱和土或岩石来说，其中固相和液相的压缩性都很低，某些情况下采用假设(a)或假设(b)也是可以接受的.将实际情况分为这三种假设有助于澄清有效应力公式的物理基础.对于这三种情况，通过式(3)或式(11)表示的能量守恒方程都能推导出具体的有效应力方程.

1.1 液相和固相均不可压缩时的有效应力公式推导

如果多孔介质中的固相和液相都不可压缩，则受压时固体骨架的体积变化严格等于从骨架中流出的液体体积，即有

dV=dVF.

(12)

将式(12)代入式(11)有

σdV-udV=σ′dV+udVL.

(13)

由于液相不可压缩(dVL=0)，式(13)中的dV自动消去，得到：

σ′=σ-u.

(14)

式(14)即为Terzaghi有效应力公式.注意该公式的推导与颗粒接触面积无关.该推导表明只要多孔介质中的固体和液体都是不可压缩的，无论固相颗粒的接触面积是否可以忽略，Terzaghi有效应力公式都精确地决定了多孔介质的变形.

1.2 液相可以压缩、固相不可压缩时的有效应力公式推导

对于饱和土，液相(水)的压缩系数一般比固相(土颗粒)大25倍左右，因而在公式推导中考虑液相的压缩性是更加准确的做法.当液相可以压缩时，单元体中流出的液体体积可以表示为：

dVF=dV-dVL.

(15)

将式(15)代入式(11)，可得：

σdV-udV+udVL=σ′dV+udVL.

(16)

显然式(16)中与液体压缩体积有关的两项udVL相互抵消，又一次得出了Terzaghi有效应力公式.因此，水的压缩性在有效应力公式的推导中也是无关紧要的.即便多孔介质中的液相明显可压缩(比如水中含有气泡)，只要固体的压缩性可以忽略，Terzaghi有效应力公式就准确决定了固体骨架的变形.孔压系数严格等于1表明总应力和孔压同步增大时，多孔介质中的液体被压缩，同时有一部分外界液体被压入了固体骨架，固体骨架本身则没有变形.

1.3 液相和固相均可压缩的有效应力公式推导

当多孔介质的液相和固相都可以压缩时，从单元体流出的液体体积可表示为：

dVF=dV-dVL-dVS，

(17)

式中，dVS为单元中固体介质的体积压缩量(以体积减小为正).将式(17)代入能量守恒公式(11)可得

σdV-udV+udVL+udVS=σ′dV+udVL.

(18)

式(18)中与液体的压缩量有关的两项udVL自动消去，可得：

(19)

由式(19)可知此时有效应力公式中的孔压系数可表示为：

(20)

同时考虑固液两相的压缩性时，式(19)表明固相的体积变化(即dVS)需要在多孔介质的有效应力公式中考虑.液体的压缩性仍然是无关紧要的.因此，Terzaghi有效应力公式的关键假设是多孔介质的变形完全由于孔隙的压缩导致，固体颗粒可以发生重分布和破碎，但是颗粒本身没有体积变化.当固体骨架变形主要由孔隙减少引起时(如对孔隙率大的松散土体)，孔压系数约等于1，Terzaghi有效应力准确无误.当固体骨架的变形并不完全由孔隙的减少引起，固体本身也具有体积变化时(如带有裂隙的岩石或混凝土、透水砖等材料)，显然孔压系数小于1，Terzaghi有效应力需要修正.作为一个极端，对于连续的固体介质，显然dVS=dV，由式(20)可知孔压系数自动退化为零，式(19)中的有效应力也自动转变成了连续介质中的总应力.液相是否具有压缩性对有效应力公式则没有影响.固体颗粒间的接触面积并没有显式的包含在式(19)中，但是颗粒接触面积会影响固相压缩系数CS和骨架压缩系数C的比值.由后文分析可知，CS/C是决定孔压系数的关键参数之一，因而接触面积对控制变形的有效应力公式依然有间接影响.

1.4 关于固液两相均可压缩的进一步分析

由以上推导可知，对于单轴或各向同性压缩的情况，有效应力公式中的孔压系数是由固相体积变化与骨架体积变化的比值决定的.由于骨架的体积变化取决于有效应力本身，dV可由下式计算：

dV=VCdσ′ ，

(21)

式中：C为固体骨架的压缩系数；V为多孔介质单元的体积.将有效应力的定义式(2)代入公式(21)有：

dV=VC(dσ-ηdu).

(22)

固相的体积变化(dVS)可由连续固体介质中的应力计算，有：

dVS=VSCSdσ0=(1-n)VCSdσ0，

(23)

式中，CS为作为连续介质的固体材料压缩系数；VS为多孔介质中固相的体积；n为孔隙率；σ0为固体材料中的应力.需注意σ0只作用在固体截面上，并不是虚拟作用在全截面上的有效应力.

由两相介质的受力平衡方程可得[6]：

σ=(1-n)σ0+nu.

(24)

从式(24)中解出σ0，则式(23)可改写为：

dVS=VCS(dσ-ndu).

(25)

联立式(25)，(20)和(22)可解出孔压系数：

(26)

由式(26)可以看出，孔压系数η不仅由材料参数CS、C和n决定，还与孔压和总应力增量的比值du/dσ有关.即便是相同的多孔介质，在不同的加载条件下也具有不同的孔压系数，这是之前的研究没有揭示过的.利用n、CS/C和 du/dσ这3组无量纲参数，式(26)可改写为以下的二次方程，进而解出孔压系数η：

(27)

对于3种常见加载模式，式(27)可退化成更加简单的方程：

(1) 多孔介质经历缓慢的排水加载，总应力缓慢增加，而孔压保持不变.此时有du/dσ=0，式(27)退化为

(28)

式(28)即为Biot提出的孔压系数[7].Biot孔压系数被认为是Terzaghi有效应力的推广[8].然而上面的推导表明，只有du/dσ接近于零时，Biot对Terzaghi有效应力的修正才是合理的.

(2) 在多孔介质的固结过程中，一般总应力保持不变，而孔压缓慢消散.此时du/dσ接近于无穷大，式(27)退化为：

(29)

注意CS/C等于零时η应等于1(CS=0表明固相是完全不可压缩的)，故系数η的解应为二次方程(29)中的一支，即为：

(30)

(3) 在不排水加载中，du/dσ被称为Skempton B值，对于饱和土体，Skempton B值一般约等于1[9].将du/dσ=1代入式(27)可以解出不排水加载条件下的孔压系数η：

(31)

2 不同材料和加载条件下的孔压系数

由上一节分析可见，即便对于相同的多孔材料，在不同加载模式下孔压系数也是不同的.只需多孔介质的孔隙率n，固体压缩系数CS和骨架的压缩系数C(准确地说是两个无量纲参数n和CS/C)，就能计算出不同加载模式下的孔压系数.Lade等[2]通过单轴压缩实验测定了石英砂和石膏砂这两种材料的压缩系数等参数，这两种多孔材料的实测孔隙率n和CS/C如图2所示.利用图2给出的数据，由式(28)，(30)和(31)可计算得出不同加载模式下这两种多孔介质的孔压系数，计算结果如图3所示.如图3所示，Lade等计算给出的孔压系数与du/dσ=0加载(即非常缓慢的排水加载)模式下的孔压系数非常接近.然而在其他加载模式下，孔压系数的取值有很大差异.在du/dσ→加载(即总应力不变，孔压逐渐消散)模式下，孔压系数随荷载的增大基本保持常数，Terzaghi公式基本在任何荷载水平下都成立.而在du/dσ=1加载(孔压与总应力同步上升)模式下，孔压系数下降最快，此时无论是Terzaghi公式、Lade公式还是Biot公式给出的孔压系数都有较大的误差.不过对这两种颗粒型的多孔介质来说，孔压系数在不同加载模式下的差异在荷载水平很高时才比较明显.在荷载水平较低时，只有du/dσ=1这一种加载模式下的孔压系数明显小于1(约为0.9)，其他两种加载模式下Terzaghi公式的误差是可以忽略的.

对于岩石和混凝土等连续性较好的多孔材料，文献[3,10]中可查得常压下的孔隙率、固体压缩系数和骨架压缩系数，如表1所示.根据表1的数据(孔隙率取表中范围的平均值)可计算得到不同加载模式下的孔压系数，计算结果如图4所示.与颗粒材料的计算结果类似，在du/dσ→加载模式下，Terzaghi公式对岩石和混凝土材料基本成立，其他两种加载模式下则表现出较大的误差.在孔压与总应力同步增大(du/dσ=1)的情况下，孔压系数的取值最小，即使常压下Terzaghi孔压系数的误差也是比较明显的，对饱和石英砂岩甚至小于0.4.

表1 一个标准大气压下岩石和混凝土材料的压缩系数和孔隙率[3,10]

3 结论

本文基于能量原理推导了控制饱和多孔介质变形的有效应力方程.主要得出以下结论：

(1) Terzaghi有效应力公式控制多孔介质变形的关键条件是固相材料是不可压缩的.孔隙中的液体是否可以压缩并不会影响Terzaghi有效应力的适用性.

(2) 考虑固相材料的压缩性后，孔压系数不仅与材料参数有关，还和加载模式有关.即便对于相同的多孔材料，不同加载模式下的孔压系数也有所不同.

(3) 计算了两种颗粒材料和四种岩石/混凝土材料在不同加载模式下的孔压系数.计算结果表明总应力、孔压同步增长时的孔压系数最小；总应力不变，孔压逐渐消散时的孔压系数最大(约等于1)；孔压不变，总应力逐渐变大时的孔压系数即为Biot孔压系数，Biot孔压系数的大小在其他两种加载模式的孔压系数之间.

(4) 荷载水平较低时，对于石英砂和石膏砂两种颗粒材料，仅在不排水加载时孔压系数为0.9左右，其他加载模式下孔压系数都接近于1.而对于连续性更好的岩石、混凝土材料，仅在总应力不变、孔压逐渐变化模式下的孔压系数接近于1，其他加载模式下的孔压系数则显著小于1.

致谢：感谢浙江大学建筑工程学院胡亚元教授对此文的建议和帮助。