随机事件相互独立和两两独立性的探究

2019-01-27 13:32刘淑环

刘淑环

（中国政法大学科学技术教学部，北京102249）

1 引言

随机事件相互独立与两两独立是概率论中非常重要的概念。对这两个概念的理解，容易出现一些困惑。例如，事件相互独立是不是事件之间发生没有影响？事件相互独立的本质是什么？多个事件相互独立与两两独立有区别吗？等等。本文将通过具体实例对这些问题进行探究。

定义1：设A和B是任意两个随机事件，如果有P（AB）=P（A）P（B），则称事件A和B相互独立，简称独立。否则就称不独立或相依[1]。

关于事件独立性判断，一般都以直觉判断为先导。例如，在可靠性理论中，人们总会假设系统各个元件的工作是相互独立的；又如，一枚骰子掷两次，则每次出现6点的结果是相互独立的；再如，彩票问题中，每次摇奖的过程也是相互独立的。这些独立性可以直接凭直观就可以判断。情况复杂则辅以定义1方法进行缜密计算。

直觉上，人们通常会认为：事件A与B相互独立，是指事件A发生或不发生对B发生或不发生没有影响。但这种直觉是否正确？如何刻画独立的这种“没有影响”？通过下面实例进行分析。

例1：掷一枚硬币2次，观察正反面情况，样本空间为：

{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}

以A记“第一次出现正面”，以B记“第二次出现正面”。显然，事件A和B独立。但A、B发生与否相互没有影响吗？

从事件关系看：B发生，有A|B={（正，正）}；B没发生，有A|={（正，反）}。同样，A发生，有B|A={（正，正）}，A没发生，有B|={（反，正）}。可见，B发生与否对A都产生了影响，A发生与否也都对B产生了影响。因此，人们认为的“事件之间发生与否没有影响”并不是“事件相互独立”的本质特征。

从概率角度来看：无论B发生与否，都有P（A|B）=P（A|）；无论 A 发生与否，都有 P（B|A）=P（B/A）。这才是事件独立的本质，即“事件A与B发生相互不影响”等价于“P（A|B）=P（A）”。因此，事件相互独立并非指事件结果相互不影响，而是指“事件在发生可能性（概率）上相互没有影响”。

在不同的样本空间，随机事件相互独立性的表现可能完全不同，看下面实例。

例2：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，以A记“抽到K”，以B记“抽到黑桃”，AB为“抽到黑桃K”。则：

P（A）=4/52=1/13，P（B）=13/52=1/4，P（AB）=1/52

可见P（AB）=P（A）P（B），故事件A、B独立。

但若将例2改为“从一副含有大小王的扑克牌中任取一张”，A和B仍如上所记，则P（A）=4/54，P（B）=13/54，P（AB）=1/54，这里P（AB）≠P（A）P（B），说明事件A、B不独立。因此，在判断事件是否独立时，一定要明确这些事件所在的样本空间。

例3：有三个小孩的家庭中，由性别构成的样本空间有8种等可能情况，以b表示男孩，以g表示女孩，则样本空间为：

Ω={bbb，bbg，bgb，gbb，bgg，gbg，ggb，ggg}

以A记“家中男女孩都有”，以B记“家中至多一个男孩”，则AB即表示“家中只有一个男孩”。则P（A）=6/8，P（B）=4/8，P（AB）=3/8。显然，P（AB）=P（A）P（B），所以，A与B相互独立。

但例3 中，若家庭有两个小孩，样本空间只含有4 种等可能情况，即 Ω={bb，bg，gb，gg}。A和B仍如上所记，则P（A）=2/4，P（B）=3/4，P（AB）=2/4。显然P（AB）≠P（A）P（B），所以，此时事件A与B 相互不独立。

因此，在判断事件是否独立时，一定要明确这些事件所在的样本空间。

定义2：设任意三个事件A、B、C，如果有：

P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），则称A、B、C两两独立。若还有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），称A、B、C相互独立。

定义2给出了三个事件相互独立要满足的四个条件，且事件相互独立并不等价于事件两两独立。由事件相互独立可推出两两独立，但由事件两两独立不能保证相互独立。这点学生理解稍有困难，下面两个实例可答疑解惑。

例4：从3、4、5、60 中随机选出一数，以A记“该数是3的倍数”，以B记“该数是4的倍数”，以C记“该数是5的倍数”。则有：P（A）=P（B）=P（C）=2/4=1/2，且P（AB）=P（AC）=P（BC）=1/4，P（ABC）=1/4。

显然，P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），故事件A、B、C两两独立。但P（ABC）=1/4≠1/8=P（A）P（B）P（C），所以事件A、B、C相互不独立。

该例说明，三个事件两两独立，并不能保证P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一定成立。

例 5：从 1、2、3、4、5、6、7、8 中随机抽选一数，以A记{1，2，3，4}，以B记{1，3，4，5}，以C记{1，6，7，8}。则有：

P（A）=P（B）=P（C）=4/8=1/2；

P（AB）=2/8=1/4，P（AC）=1/8，P（BC）=1/8；且P（ABC）=1/8

显然有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），但P（AC）≠P（A）P（C），P（BC）≠P（B）P（C）。

该例说明，即使P（ABC）=P（A）P（B）P（C），也不能保证事件两两独立。

基于以上的分析，便不难理解“三个以上事件相互独立，要保证其中任意部分的事件都要相互独立”的下述定义：

定义 3：设n个事件A1，A2，……，An，对任意的 1≤i＜j＜k＜…≤n，如果以下等式均成立

由定义3可知，n个事件相互独立，则其中任意一部分内的事件仍相互独立，且任意一部分与另一部分也相互独立。自然的，n个事件相互独立，则其中任意两个事件必然两两独立。而n个事件若相互独立，则必须要保证定义3中的2n-n-1个等式同时成立，只要有一个等式不成立，n个事件就不相互独立。