素数的来源与“1-1”定理

2019-01-28 17:53程中战
成长·读写月刊 2019年1期

程中战

一、定义

两个正整数集合的各元素没有共同的分解质因子,称这两个集合互质。

例,A={3 6 7 21},B={5 11 13 17 25},集合A与B互质;

一个正整数集合的各元素与一个正整数没有共同的分解质因子,称这个正整数与这个集合互质。如上例中,5与集合A互质;

集合的所有元素的连乘积称为集合的乘积,例,集合A={3 6 7 21},集合A的乘积为

A=3×6×7×21

二、倍数公理

把正整数集合A适当分成两个互质的集合B与C,有x=B+C, y=B-C,则x、y与集合A互质。例,A={2 3 5 6 7 11 13},B={5 7 13},C={2 3 6 11},

x=B+C=455+396=851=23×37, y=B-C=455-396=59,显然,851,59都与集合A互质。

三、素数的生成表达式

连续素数幂的集合A={1 2a 3b 5c 7d 11e 13f…pi},幂指数a、b、c…i为非负整数,把集合A任意分成两个集合B、C,有x =B+C,y=B-C ,则x、y一定是新素数或是若干个新素数的乘积。

特别地,当小于等于■(或■)的最大素数为p1,而又p1小于等于 p时,x(或y)一定是素数。

例,A={22 33 5 7 11 13},B={{22 33 7},C={5 11 13},x=1471,y=41

因为■=6.403,5<6.403,5<13,所以,41一定是素数。

A={2 3 5 7 11 13 17 19 23},B={{3 13 17 23},C={2 5 7 11 19},x=29879,y=619

因为■,23<24.879,23=23,所以,619一定是素数。

四、素数的来源

1+1=2, 2+1=3,把1看成是特殊的素数,这样素数的最初集合为A ={1 2 3},把A一分为二,有2×3±1=7, 5 这样素数的集合扩展为A ={1 2 3 5 7},再把A一分为二,有3×7±2×5=31,11;2×5±3=13,7。 用这种方法继续扩展素数集合,就可以得出所有的素数。这个过程可表为口诀,1生2,2生3,3生万数。显然,运用倍数公理及素数的生成表达式直接就证明了素数有无穷多个。

对于每个大偶数2n(2n>4)总存在p1与p2关于n对称,其中p1、p2为奇素数,有p1=n+k,P2=n-k,即2n=p1+p2,例,n=210,■=14.491,小于14.491的最大素数是13,从2~13的所有素数是 2 3 5 7 11 13,  210的分解質因子是 2 3 5 7,那么210±11×13=353, 67是两个素数,210±13=223,197也是两个素数,所以,2×210=420=353+67=223

+197

五、“1-1”定理

任何一个偶数(包括0)都可表示为无穷多对不同的奇素数之差。

关键词:孪生素数,类孪生素数,n生素数。

孪生素数:差为2的两个奇素数;

类孪生素数:差为n的两个奇素数(n为偶数);

n生素数:即类孪生素数,例如,差为4的两个奇素数称为4生素数,差为6的两个奇素数称为6生素数,

证明:在素数数列1 2 3 5 7(p中,假设p是最后一个素数,据倍数公理则有:

(1)2×3×5×7×(×p±1必为一对孪生素数;

(2) 3×5×7×11×(×p±2必为一对差4的素数;

(3)2×5×7×11×(×p±3必为一对差6的素数;

(4)3×5×7×11×(×p±4必为一对差8的素数;

(5)2×3×7×11×(×p±5必为一对差10的素数;

(6)5×7×11×13×(×p±6必为一对差12的素数;

……

一般地,1×2×3×5×7×11×…×p±k必为一对差2k的素数。k为正整数,连乘积中不含k的质因子。假设p是素数数列中最后的一个素数时,必然存在最后一对孪生素数、四生素数、…n生素数,然而,通过上述计算式又可得出新的一对孪生素数、四生素数、…n生素数,所以,孪生素数、四生素数、…n生素数是无穷多的。又因为素数无限多,所以,素数p-p=0也无限多。

因此,任何一个偶数(包括0)都可表示为无穷多对不同的奇素数之差。

故,“1-1”定理成立。