从斐波那契数列感受数学之美

吴翰举

摘要：本文在第一部分推导了斐波那契数列的两种通项公式，其中一种和组合数有很大的联系，并探讨了斐波那契数列前后两项比值的极限和黄金分割比例的关系;在第二部分，将斐波那契数列前后两项比值的极限推广到了更一般递归数列的情形，并得到了相应的结论。

关键词：斐波那契数列;黄金分割;概率模型;数列极限

一、斐波那契数性质

（一）斐波那契数列通项公式

斐波那契数列：若数列{an}满足，a0=1，a1=1，an+2=an+1+an，n∈N，则称数列{an}为斐波那契数列。

利用组合数学中递推关系的相关理论给出斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列满足的递推方程有特征方程：x2=x+1，该特征方程有两根x1=，x2=.

因此数列{an}通项公式必定为，

将首项a0=1，a1=1，带入上式，可以解得φ，ψ，这样我们可以得到数列{an}的通项公式，

（二）斐波那契数列与组合数

在本章节第（一）小节我们求得斐波那契数列{an}的通项公式，本小节主要我们通过概率的方法给出数列的另外一个通项公式。

首先给出一个简单的概率模型：假设在一个箱子中一共有n个小球，每次可以从箱子取出1个或者2个小球，要从箱子中取出所有的小球，问一共有多少种取法。

为解决上述问题，假设箱子中有n小球时共有bn中取法，容易得到b1=1，b2=2，当n≥3时，若第一次从箱子中取出1个小球，剩下n-1个小球共有bn-1种取法，若第一次从箱子中取出2个小球，剩下n-2个小球共有bn-2种取法，因此我们得到bn=bn-1+bn-2.如果补充定义b0=1，我们可以得到an=bn，n∈N.

其实可以利用纯概率的方法给出该概率模型的答案，假设恰好有k次从箱子中取出2个小球，一共有中取法，其中k的取值可以是0，1，2，…，.由分类加法，我们可以得到，

（三）斐波那契数列与黄金分割

黄金分割：在线段AB中有一点C，若 ，则称线段AB满足黄金分割，λ为黄金分割比例，可求得λ=。

斐波那契数列有一个重要的性质。显然，斐波那契数列的极限是不存在的，但是该数列的前一项与后一项的比值的极限是存在的，并且该极限值为黄金分割比例，下面给出证明。

其实该结论和首项取值是无关的，在下一章节我们将该结论推广。

二、斐波那契数列的推广及其和黄金分割的关系

（一）首项任意值的情形

数列{rn}中，

同样地，利用组合数学的相关理论，数列{rn}的通项公式必定可以写为，

其中，φ1，ψ1满足，

可以解得，

下文探讨数列{}极限的存在情况及其取值。

当.

当u，v全部为0 时，数列{rn}是每一项都为0的数列，此时数列{}无意义。

当 ，但 .

因此，当数列{rn}中，前两项满足时，数列{}的极限是存在的，并且该值为黄金分割比例。

（二）任意相鄰k项的比值极限情形

本小节将上一小节的比值极限推广到相邻k项，下文给出 极限的存在情况及其取值，这里k为任意固定正整数。

当 .

当u，v全部为0 时，数列{rn}是每一项都为0的数列，此时数列{}无意义。

当，但u2+v2≠0.

因此，当数列{rn}中，前两项满足时，数列{ }的极限是存在的，并且该值为黄金分割比例的k次方。

三、小结

本文主要得到了斐波那契数列的极限情况和黄金分割比例的关系，并且将该结论推广到一般的递归数列，其实该结论可以推广到更一般的递归数列，即若数列{hn}，满足hn+2=phn+1+qhn，这里p，q为任意实数，这样的数列前一项比后一项的极限在一定条件下也是存在的，但该极限并不一定等于黄金分割比例，而是和p，q有关系。

参考文献：

[1]徐长林.关于斐波那契数列及一般递归数列部分极限的研究[J].陕西学前师范学院学报，1995 （4）：62-64.

[2]李德成.Fibonacci数列一个性质的巧妙发现与证明[J].上海中学数学，2009 （11）：36-37.

[3]陈思尧.黄金分割与斐波那契数列的证明与研究[J].上海中学数学，2014 （4）：9-11.