强U--富足半群上的同余

韩雪梅, 李刚

(山东师范大学数学与统计学院，山东 济南 250014)

1 引言及预备知识

令S为半群,E(S)是S的幂等元集合且U⊆E(S),S上的格林关系为

文中不加说明的U均指幂等元半格。

2 强U--富足半群上的同余及性质

(2)(ab)*=(a*b)*，特别地,b=u∈U,(au)*=a*u;

(3)(ab)+=(ab+)+，特别地,a=u∈U,(ub)+=ub+。

(3)同(2)的证明。

引理2.2 若S为强U-右-富足半群,则

={(a,b)∈S×S|∀u∈U,(ua)*=(ub)*}

根据对偶性得

引理2.3 若S为强U-左-富足半群,则

={(a,b)∈S×S|∀u∈U,(au)+=(bu)+}

由引理2.2和2.3得：

={(a,b)∈S×S|∀u∈U,(ua)*=(ub)*,(au)+=(bu)+}

记

其中

再证γ是同态映射。对∀u,v∈U,有

则得γ是同态映射。

综上知γ是同构映射。

以下结论是本节的主要结果:

引理2.8 若S为强U-右-富足半群,则下列条件等价

对偶地有：

引理2.9 若S为强U-左-富足半群,则下列条件等价

(1)对∀a∈S有a*=a+;

(4)U是S的中心。

a+=(a*a)+=a*a+,

a*=(aa+)*=a*a+,

从而有a*=a+。

au=(au)*(au)=a*uau=ua*au=uau,

ua=(ua)*(ua)=ua*ua=ua*au=uau,

从而得au=ua,故U是S的中心。

根据对偶性有: