一道物理竞赛题的深度探讨

摘 要：文章以分类讨论和反证法的形式对一道物理竞赛题进行了深度探讨。

关键词：竞赛题；分类讨论；反证法；3N+1

一、 模型简化

【试题】 一质点在x轴上运动，其初始坐标为x=x0（x0为大于零的正整数），质点按如下的规则运动：如果初始坐标是奇数，则下一步运动到x=3x0+1处，如果初始坐标是偶数，则下一步运动到x=x02处；质点到达新位置以后，再把该点坐标当成下一过程的初始坐标，按照上述规则不停运动。求质点运动无穷多个步骤以后，可能的位移为多少？

【模型简化】求质点的位移，关键是求质点的末坐标在哪里？为了讨论方便，上述试题可表述成：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变换，如果是个奇数，则下一步变成3N+1；如果是个偶数，则下一步变成N/2。得到一个结果之后，再重复规则运算，则变换无穷多个步骤之后的结果可能为？先举一个例子。

若起始数为5，则有如下的变换流程：

从上述例子可以看出，“5”最终跌入了“4-2-1-4”循环，那么其他数值是否也会跌入这个循环？答案是肯定的，感兴趣的读者可以再举几例试试，下面笔者给出一般性的证明。

二、 笔者的证明

（一） “3N+1”与倍数的关系

对于任意奇数N，根据变换规则，它的第一步将变为3N+1，此时放大了多少倍？

倍数=3N+1N=3+1N

①当N=1时，倍数=4；②当N为大于1的奇数时，“乘3加1”变换相当于把奇数放大了三点几倍。

（二） 任意自然数经过多步变换之后，能回到自身？

为了讨论的方便，我们设起始数为偶数。因为对奇数实施“乘3加1”变换时，它将变成偶数，只要证明偶数经过多次角谷变换之后都后回到谷底1，则奇数同样如此。

①自然数经过两步变换能回到自身？

设x1为起始偶数项，x1要想回到自身，只能满足放大倍数等于缩小倍数，显然“乘3加1”放大的倍数不等于“除以2”缩小的倍数，因此一切自然数不可能经过两步变换回到自身。

②自然数经过三步变换能回到自身？

设x1为起始偶数项，x1要想回到自身，只能满足放大倍数等于缩小倍数，所以流程中只能有两次“除以2”变换和一次“乘3加1”变换，根据流程可列如下方程：

x14×3+1=x1，解得x1=4，x2=x12=2，x3=x22=1

结论：在一切自然数中，只有1、2、4三个数经过三步变换能回到自身。

③自然数经过四步及其以上的变换时，能回到自身？

当变换过程有四个及其以上的步骤时，流程至少包含两个“乘3加1”变换，否则放大倍数远小于缩小倍数，但是一旦出现两次“乘3加1”变换，至少有一次的放大倍数为“三点几倍”，出现小数，而缩小倍数只能是偶数，两者不可能相等。所以一切自然数经过四步及其以上的都不可能回到自身。

综上所述，1、2、4除外的一切自然数按规则变换后都不能回到自身，无论过程有多少步。

（三） 用反证法证明角谷猜想

假设自然数x按规则变换后没有落入“4-2-1-4”循环，则该数将无限度演变下去，因为1、2、4除外的一切自然数按规则变换时都不能回到自身。设演变过程中出现m次“乘3加1”变换和n次“除以2”变换（说明：对奇数进行“乘3加1”变换为偶数，每次“乘3加1”变换之后必為“除以2”变换，所以n>m），演变的结果为

f（x）=3mx2n+3m2n+3m-12n-1+3m-22n-2+…

令n=m+k，则有

f（x）=12k3mx2m+3m2m+3m-12m-1+3m-22m-2+…+32=12k3mx2m+321-32m1-32=12k32m（x+3）-3=12k32m（x+3）-32k

显然，当式中的k与m无限度递增取值下去时，演变到某步时将会出现小数。这与变换的规则是矛盾的（按照规则变换的结果只能是整数），因此假设不成立，即一切自然数按规则变换后都要落入“4-2-1-4”循环。

三、 答案揭晓

根据上述讨论的结果，质点运动无穷多个步骤以后，其末坐标可能是x=1、x=2或x=4，所以质点可能的位移有Δx=x0-1、Δx=x0-2或Δx=x0-4。

作者简介：

蒋金团，中学一级教师，云南省保山市，云南省保山市施甸县第一完全中学。