探究电磁感应中的动力学问题形成熟练的解题能力

摘 要：感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应和动力学发生联系是必然的。解决这类问题需要综合应用电磁感应规律及动力学有关规律，关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析。

关键词：电磁感应；动力学；安培力；平衡状态；非平衡状态

一、 基本知识

（一） 导体的两种运动状态

（1）导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态；（2）导体的非平衡状态——加速度不为零。

（二） 导体处于平衡状态的分析思路

（1）用楞次定律和法拉第电磁感应定律来确定感应电动势的大小和方向；（2）由闭合电路欧姆定律确定回路中的电流；（3）分析导体的受力情况；（4）由平衡条件列方程求解。

（三） 导体做变加速运动，最终趋于稳定状态的分析思路

（1）做好受力分析与运动状态分析。导体受力→速度发生变化→产生了变化的感应电动势→产生变化的感应电流→导体受到变化的安培力的作用→合外力发生变化→加速度发生变化→速度发生变化→感应电动势发生变化→最终加速度变为零，导体达到静止或者匀速直线运动的状态。

（2）达到平衡状态时，列方程求解。当导体达到静止或者匀速直线运动等稳定状态时，列出的受力平衡方程，往往会是解决这类问题的突破口。

（3）此类问题中极值问题的分析方法。①加速度的最大值出现在初位置，可先对初位置进行受力分析，然后由牛顿第二定律求解加速度。②速度的最大值和最小值一般出现在匀速运动时，通常根据平衡条件进行分析和求解。

二、 例题解析

[2016·全国卷Ⅰ]如图1，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连。两支细金属棒ab（只标出a端）和cd（只标出c端）长度均为L，质量分别为2m和m；用两根无弹性的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两支金属棒水平。右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线均不在磁场中，回路电阻为R，两支金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑。请回答：

（1）作用在金属棒ab上的安培力是多少？

（2）金属棒运动速度是多少？

注：本题考查导体处于平衡状态时电磁感应中的动力学问题，下面我们来按照前文所提到的方法进行求解。

图1

解析：（1）设T为柔软轻导线的张力的大小，N1为右斜面对ab棒的支持力的大小，磁场作用在ab棒上的安培力的方向沿斜面向上，大小为F，（分析导体的受力情况）左斜面对cd棒的支持力大小设为N2，对ab棒进行受力分析，由于ab棒匀速运动，故ab棒所受合外力为0，得

2mgsinθ=μN1+T+F ①（分析导体的受力情况）

由牛顿第三定律得N1=2mgcosθ ②

对于cd棒，同理得mgsinθ+μN2=T ③

N2=mgcosθ ④

联立①②③④式可得F=mg（sinθ-3μcosθ） ⑤（分析导体的受力情况）

（2）由安培力公式得F=BIL ⑥

金属棒ab切割磁感线所产生的电动势大小为

ε=BLv ⑦

此式中，v指的是ab棒下滑速度的大小，由欧姆定律得

I=εR ⑧（由闭合电路欧姆定律确定回路中的电流）

联立⑤⑥⑦⑧式可求得v=（sinθ-3μcosθ）mgRB2L2 ⑨

解析：本题虽然选题简单，但研究范围广，对考生综合能力进行了考核。为了解决这个问题，要想解决此问题，需要考生综合运用力的平衡条件、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力等力学与电学的基本规律进行推理分析。本题中，导体的运动状态在题干中已经给出，并且导体的运动状态未发生变化，且所受力均为恒力，力的大小和方向均未发生变化。故此题较为简单，只是对学生所学知识和解题技能的基本考查。此题中，先对ab棒和cb棒进行受力分析，然后根据力的平衡条件，得到作用于金属棒ab上的安培力的大小。再联立法拉第电磁感应定律、安培力公式、欧姆定律，通过运算处理，即可求出金属棒运动速度的大小。

[2016·全国卷Ⅱ]如图2所示，水平面内间距为l的平行金属导轨之间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t=0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：

（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；

（2）电阻的阻值。

注：本题中导体做匀加速运动，最终趋于稳定状态。本题第一问是对导体进行正确的受力和运动状态分析的前提，第二问导体处于平衡状态，受力分析求解即可。

图2

解析：（1）设a为金属杆进入磁场前的加速度大小，由牛顿第二定律可得到

ma=F-μmg ①

设v金为属杆到达磁场左边界时的速度，则易得

v=at0 ②

在磁场中當金属杆以速度v向右运动时，由法拉第电磁感应定律可得，金属杆中的电动势大小为E=Blv ③

则联立以上各式并经过化简可得

E=Blt0Fm-μg ④

（2）当金属棒在磁场中以速度V匀速移动时，设I为金属杆中的电流，R为电阻的阻值，根据欧姆定律I=ER ⑤，易得金属杆所受的安培力的大小为f=BIl ⑥，方向水平向左，又由左手螺旋定则得，电流的方向水平向左，又因为金属杆做匀速直线运动，处于受力平衡状态，故由牛顿运动定律得导体所受合外力为0，

F-μmg-f=0 ⑦

联立④⑤⑥⑦可以求得R=B2l2t0m ⑧

解析：本题着重考查考生的理解能力和推理能力，考查的内容包括牛顿第二定律、匀加速运动、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力。本题中的两个小问题考查导体运动的两个阶段。第一问考查导体做匀加速运动时所产生的动生电动势的大小，第二问考查导体处于匀速直线运动时的情况。试题要求考生能够准确分析金属杆在进入磁场前后的两个不同阶段的运动和受力情况，在金属杆进入磁场之前，是力学中的物体在力的作用下做匀加速运动的过程；在金属杆进入磁场之后，对金属杆的运动情况作受力分析，结合电磁感应和电路知识求出答案。本题将力学、电磁学的多项基础内容有机地结合起来，对考生的基础知识进行综合考查。

金属杆在进入磁场之前，分析这一阶段的金属杆的受力可知，在水平方向它受到恒定的拉力和摩擦力共同作用，做匀速运动。利用匀加速运动公式可计算金属杆在进入磁场之前的速度，并通过法拉第电磁感应定律得到金属杆在进入磁场后的感应电动势。金属杆在进入磁场后，由于它做匀速运动，因而它所受的外力之和为零。本题的关键点就是要从这个条件入手，然后再层层推导。先反推得到金属杆所受安培力的大小，然后由安培力公式反推得到回路中电流的大小，最后计算出回路中的电阻值。

[2016·全国卷Ⅲ]如图3，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面内，在其左端接一阻值为R的电阻；一支与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于紙面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1=kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。请解答：

图3

（1）在t=0到t=t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；

（2）在时刻t（t>t0）穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。

注：本题第一题为电学问题，较简单，第二题过程较多且烦琐，需要做题者理清思路，才能较快地得出答案。

（1）若在t时刻金属棒未越过MN，此时穿过回路的磁通量的大小为φ=ktS ①

设从t时刻到t+Δt时刻，回路磁通量的增加量为Δφ，Δq为流经电阻R的电荷量，

由法拉第电磁感应定律可以推得得ε=-ΔφΔt ②

又由电流的定义可得ε=ΔqΔt ③

由欧姆定律可得i=εR ④

联立①②③④式解得|Δq|=kSRΔt ⑤

由⑤式得，易知在t=0时刻到t=t0时刻流过电阻R的电荷量q的大小的绝对值为

|q|=kt0SR ⑥

（2）当t>t0时，金属棒已越过MN，开始向右运动，又由于金属棒在MN右侧做匀速运动，处于受力平衡状态，设外加水平力为f，匀强磁场对金属棒施加的安培力为F，可得

f=F ⑦

设I为此时回路中的电流，则此时安培力F的大小为F=B0Il ⑧

由运动学定律可知此时金属棒与MN之间的距离大小为s=v0（t-t0） ⑨

而此时MN右侧的匀强磁场穿过闭合回路的磁通量为φ′=B0lS ⑩

闭合回路的总磁通量为φt=φ=φ′ B11

式中，φ仍可通过①式求得。则由①⑨⑩B11式得，在t时刻（t>t0）穿过闭合回路的总磁通量为

间间隔内，总磁通量的改变Δφt为

由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为

由欧姆定律有I=εtR B15

联立⑦⑧B13B14B15式，化简得f=（B0lv0+kS）B0lR B16

解析：本题第（1）问是纯电磁学问题，第（2）问涉及力学平衡条件，要点是正确计算通过回路的磁通量，本题中金属棒始终处于运动状态，首先要能够熟练运用动力学公式，算出金属棒运动的路程，然后判断磁通量的变化。本题关键在于要理清逻辑，磁通量的变化是磁场的变化和金属棒的运动共同导致的结果，而磁通量的变化又会导致闭合电路电流的变化，进而决定金属棒受到的磁场的力的大小。磁通量的变化是连接导体运动和所受力的桥梁。找清楚磁通量的变化规律，本题就迎刃而解。本题问题起于运动学，中间考查电磁学知识，最后又考查了静力学的知识，综合考查了考生运用法拉第电磁感应定律、安培力公式和欧姆定律等分析问题的能力。

三、 例题考查特点和解决方法

1. 此类型题目经常以解答题的形式在试卷中出现，步骤较多，占得分值比较重。

2. 此类型题目考查的知识点很多，注重不同知识之间的融汇贯通。

3. 解决此类问题的关键是对物体进行受力分析和运动状态的分析。这是整个高中物理中比较基础和关键的两个方法。很多学生在处理这类问题时无从下手就是因为对这两种方法不能熟练地运用。

4. 此类型题目着重考查学生的推理能力。学生结合所学知识推理出各个物理量之间的关系，此类题目之所以步骤较多，是因为推理过程复杂，且每个推理过程都是得分点。做此类题目时考生必须理清思路，找出各个变量与已知条件的关系，才能推导出正确结果。

5. 此类题目，考生必须注意过程的书写。答题中所用公式必须列出，必须按推导过程书写，将推理过程清晰明确地写出来。

四、 总结

参考文献：

[1]2016年高考全国新课标1卷2卷3卷物理试题精编word版含答案.

作者简介：

贾鸿浩，安徽省淮北市，安徽省淮北一中高三（17）班。