解答错题 启迪人生

摘 要：高中数学是一门比较难学的基础学科，同一个题目有多种解题方法，致使解题难，而命题更难。通过对本校模拟错题的分析，检验了所学的知识，提高了解题能力，同时，还明白了人生哲理：要想在挑战和绝望中赢得转机，就必须事先做好充分准备，只有这样，才能有信心去迎接挑战和绝望。

关键词：数学错题；从形和方程的角度解答；启迪人生

众所周知，高中数学是一门比较难学的基础学科，由于同一个题目有多种解题方法，致使命题者增加了难度，真可谓：解题难，而命题更难。通过对本校第一次模拟试题的分析，发现其中一个解答题，系命题者考虑不周，而留给本文探讨的好题目。

一、 命题内容

在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC。

（一） 求b的值；

（二） 若B=π4，S为△ABC的面积，求S+82·cosAcosC的取值范围。

二、 分析解答

（一） b=4（解题过程略）；

（二） 这一小题，既可从形的角度来分析解答，也可从方程的角度进行分析解答。

1. 由形入手进行分析解答：

∵S=12b2sinA·sinCsinB=82sinAsinC，又A+C=34π，∴0

∴S+82cosAcosC=82sinAsinC+82cosAcosC=82cos（A-C）=82cos2A-34π，而-3π4<2A-34π<3π4，∴S+82cosAcosC∈（-8，82].

此小题从表面上看，是一个常规的题型，比较平常，用常规的思路解题，没有任何悬念。但运用所学的知识，仔细进行分析，发现隐含着我们未曾注意到的知识点：

题中的sinAcosC=3cosAsinC，可由正弦定理化为acosC=3ccosA，∴A，C都为锐角，这给本小题增加了限制条件，角A，C的范围应重新计算，∴0

分析到这里，挖掘到上面这样一个隐含条件，笔者缓缓舒了一口气。“行百里者半九十”，再接再厉，继续分析，a2-c2=2b，是否也会隐含什么？笔者又有了新的發现：

a2-c2=2b>0，∴A>C，∴A>34π-A，即38π

根据题中的条件a2-c2=2b，作右图：以AC为x轴，以它的垂直平分线为y轴，

建立平面直角坐标系，A（-2，0），C（2，0）.

设B（x，y），∴a2-c2=BC2-AB2=（x-2）2+y2-（x+2）2-y2=-8x=8，

∴x=-1，这样，得到点B在直线x=-1上，又B=π4，所以点B是一个定点，从而可知，题中的S+82·cosAcosC是一个定值。（惊讶否？）

大家也可以这样来看B点的轨迹：∵B=π4，

所以点B在以M为圆心的圆上，∠AMC=90°，

又AC=4，A（-2，0），C（2，0），∴圆M的方程为x+（y-2）2=8，

∵根据正弦定理，可将sinAcosC=3cosAsinC化为acosC=3ccosA，

由此可知，点B在x轴上的投影点为-1，再在圆方程x+（y-2）2=8中取x=-1，可得

y=7+2，∴B（-1，7+2），也就是说，点B的位置是确定的，从而可知，角A，C是定值，S+82cosAcosC也是一个定值。S+82cosAcosC是定值，证明如下：

由上可知AB=（7+2）2+1=23+7，

∴cosA=123+7，sinA=7+223+7.

同理：sinC=7+225+7，cosC=325+7

∴S+82cosAcosC=82（sinAsinC+cosAcosC）=4（7+27）11+47

2. 从方程的角度进行分析解答：

∵a2-c2=8，又∵B=π4，由余弦定理得：16=a2+c2-2ac，两个方程两个未知数，可知a，c是可以求出来的定值，进而知道，S+82cosAcosC是一个定值。

由16=a2+c2-2aca2-c2=8，得：a2+c2-2ac=2（a2-c2），即3c2-2ac-a2=0.

令ca=t，3t2-2t-1=0，∴t=2-146，t2=16+4736=4+79，∴a2=725-7=20+47，因边长a，c是定值，故角A，C也随之确定了（为定值），留下的就是对结果的计算了。

此题，是命题老师考虑不周所致，其结果虽不尽人意，但让笔者感到无比欣慰。它让笔者检验了所学的数学知识，锻炼了发现问题和解决问题的能力，提高了数学的解题水平。

此题虽是错题，但是一个能锻炼人思维的好题，它让人们明白如下道理：挑战和机遇并存，绝望和希望并存，但机遇和希望，都是留给有充分准备而信心十足的人。一个人如果平时不努力，没有做好充分的准备，即使碰到了机遇和希望，也将会因没有准备，而丧失良机和绝望叹息，更不可能在挑战和绝望中赢得转机。只有脚踏实地，一步一个脚印，持之以恒、不断努力的人，才有信心去迎接挑战，在绝望中看到曙光。

参考文献：

[1][美]G·波利亚，涂泓，冯承天译.怎样解题——数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]曹兵.高中数学难题新题精讲精练300例[M].上海：上海交通大学出版社，2008.

[3]陈汝作，郑又宜.高中数学解题技巧[M].上海：东方出版中心，1992.

作者简介：

叶杭来，浙江省台州市，浙江省三门中学。