例谈新定义数列的解题

时英雄 汤 旭

(安徽省合肥市第一中学 230601)

在高中数列的学习中，主要就是定义了等差数列、等比数列，那么有没有等和数列，等积数列等等这样的新定义的数列呢？其实，在很多的数列题目中经常能遇到新定义的数列，它需要学生对知识进行迁移，利用对等差、等比数列的理解进行归纳，类比等，找出新定义的数列的核心来解题.下面就一些常见的新定义数列问题，谈谈此类问题的解法，以飨读者.

一、等和数列

例1 定义：把满足an+an-1=k(n≥2,k为常数)的数列叫做等和数列，常数k叫做数列的公和.若等和数列{an}的首项为1，公和为3,则其前n项和Sn=____.

评注等和数列的本质就是奇数项和偶数项分别为两组常数列构成，是一个摆动数列.掌握这一特点，求通项、求和等问题就可迎刃而解了.

二、绝对和数列

例2 定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an|+|an+1|=k(k为常数),则称{an}为绝对和数列，常数k叫做数列的绝对公和，已知绝对和数列{an}中，a1=2，k=2，则其前2010项和S2010的最小值为____.

解析由定义|a1|+|a2|=2，a1=2，所以|a2|=0,|a3|=2,|a4|=0,…

所以n为奇数时，|an|=2，n为偶数时，|an|=0，要使S2010最小，则a3=a5=...=a2009=-2，(S2010)min=2-2×1004=-2006.

评注绝对和数列与等和数列的研究类似，只不过奇数项和偶数项在取值时都有正负两种选择，比等和数列要复杂一点，也可以将题目设计为前2010项和为定值，求数列个数，这样牵涉到排列组合知识，留给读者自己研究，这里不做赘述.

三、等比和数列

由此可得：a2n-1=a1×2n-1=2n-1,故a2009=21004.

评注等比和数列比等和数列多了一步构造，奇数项和偶数项由原来的两组常数列变为两组等比数列，还是分奇偶研究，实质没变.

四、等积数列

例4 在一个数列中，如果对∀n∈N*都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，常数k叫做数列的公积.若等积数列{an}中a1=1,a2=2,k=8，则a1+a2+…+a12=____.

解析由题设anan+1an+2=8，,an+1an+2an+3=8，两式相除得：an+3=an.{an}是一个周期为3的周期数列.

又由a1a2a3=8,a1=1,a2=2,所以a3=4.

所以，a1+a2+a3=7，a1+a2+…+a12=4×7=28.

评注这里的等积数列给的是连续三项的积为同一个常数，若给出的是连续两项则与例1给出的等和数列如出一则，这里用连续三项构造出一个周期数列，利用一个周期内的几项和为定值，即可求出特定的前n项和.

五、等差比数列

①k不可能为0；

②等差数列一定是等差比数列；

③等比数列一定是等差比数列；

④通项公式为an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是等差比数列；

⑤等差比数列中可以有无数项为0.

其中正确命题的序号是____.

解析对于①，若k为0，则an+2-an+1=0，从而an+1-an=0，矛盾，故①正确.

对于②，若等差数列公差为0，则an+1-an=0，矛盾，故②不正确.

对于③，若等差数列公比为1，则an+1-an=0，矛盾，故③不正确.

对于⑤，若等差比数列中可以有无数项为0，则存在an+1-an=0，矛盾，故⑤不正确.

评注本题新定义了等差比数列，对能否构成等差比数列的条件进行了研究，对其性质进行了研究，这也是新定义问题的一种考察方向，本题抓住an+1-an≠0这个关键点即可.

六、等方差数列

②{(-1)n}是等方差数列；

③若{an}是等方差数列，则{akn} (k∈N*,k为常数)是等方差数列；

④若{an}是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列.

其中正确命题的序号是____.

对于②，[(-1)n]2-[(-1)n-1]2=0，故{(-1)n}是等方差数列，故②正确.

高考中的新定义问题尤其是数列问题并不少见，虽然是新的定义，新的知识点，但是研究新数列的过程和方法都是大家所熟悉的，所以只要平时在学习的过程中能扎扎实实，将学习的过程和研究的方法迁移过来后，就会发现其实就是举一反三，本文中举的几个例子就是平常比较常见的新定义数列.在平时的学习过程中大家也可以按照类似的思路编拟一些类似的题目来拓展思维，然后发现一些特殊的有意思的数列，在学习之余增加一些乐趣.